Ressonância magnética. Uma partícula de spin
com razão giromagnética
, em repouso em um campo magnético estático
, precessiona na frequência de Larmor
(Exemplo 4.3). Agora, ativamos um pequeno campo transverso de radiofrequência (rf),
, de modo que o campo total será
Monte a matriz Hamiltoniana $2 \times 2$ (Equação 4.158) para esse sistema.
Monte a matriz Hamiltoniana $2 \times 2$ (Equação 4.158) para esse sistema.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com spin 1/2 que está num campo magnético estático na direção z,
, e agora a gente adiciona um campo de radiofrequência (rf) que está na direção i e j, mas muda com o tempo. A parada é montar a matriz Hamiltoniana
desse sistema. Para isso, vamos precisar saber como representar o Hamiltoniano para partículas com spin em um campo magnético usando matrizes de Pauli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral do Hamiltoniano para uma partícula de spin
em um campo magnético. O Hamiltoniano é dado por:
Aqui,
é a razão giromagnética,
é o campo magnético total, e
são os operadores de spin. Para o spin
, podemos usar as matrizes de Pauli para representar os operadores de spin.
Passo 3
As matrizes de Pauli são:
E os operadores de spin são:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores do campo magnético total
na expressão do Hamiltoniano. O campo total é dado por:
Então, o produto escalar
fica:
Passo 5
Substituindo os operadores de spin nas matrizes de Pauli:
Fatorando o
:
Passo 6
Agora, substituímos isso no Hamiltoniano:
Para simplificar, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos montar a matriz Hamiltoniana usando as matrizes de Pauli:
A gente pode simplificar as expressões nos elementos fora da diagonal usando a identidade
:
Então, a matriz fica:
Resposta
A matriz Hamiltoniana
para o sistema é: