Ressonância magnética. Uma partícula de spin com razão giromagnética , em repouso em um campo magnético estático , precessiona na frequência de Larmor (Exemplo 4.3). Agora, ativamos um pequeno campo transverso de radiofrequência (rf), , de modo que o campo total será
Monte a matriz Hamiltoniana $2 \times 2$ (Equação 4.158) para esse sistema.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com spin 1/2 que está num campo magnético estático na direção z, , e agora a gente adiciona um campo de radiofrequência (rf) que está na direção i e j, mas muda com o tempo. A parada é montar a matriz Hamiltoniana desse sistema. Para isso, vamos precisar saber como representar o Hamiltoniano para partículas com spin em um campo magnético usando matrizes de Pauli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral do Hamiltoniano para uma partícula de spin em um campo magnético. O Hamiltoniano é dado por:
Aqui, é a razão giromagnética, é o campo magnético total, e são os operadores de spin. Para o spin , podemos usar as matrizes de Pauli para representar os operadores de spin.

Passo 3

As matrizes de Pauli são:
E os operadores de spin são:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores do campo magnético total na expressão do Hamiltoniano. O campo total é dado por:
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Substituindo os operadores de spin nas matrizes de Pauli:
Fatorando o :

Passo 6

Agora, substituímos isso no Hamiltoniano:
Para simplificar, podemos escrever:

Passo 7

Agora, vamos montar a matriz Hamiltoniana usando as matrizes de Pauli:
A gente pode simplificar as expressões nos elementos fora da diagonal usando a identidade :
Então, a matriz fica:

Resposta

A matriz Hamiltoniana para o sistema é:

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