Uma partícula se encontra (em tempo no N -ésimo estado do poço quadrado infinito. Agora, o ‘piso’ do poço aumenta temporariamente (talvez porque entre ali um pouco de água que, mais tarde, vai desaparecer), de modo que o potencial dentro dele é uniforme e dependente do tempo: .
Resolva o problema para exato utilizando a Equação 9.82 , e demonstre que a função de onda muda de fase, mas não ocorrem transições. Calcule a mudança de fase, , em termos da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula no N-ésimo estado de um poço quadrado infinito no tempo inicial . De repente, o “piso” do poço aumenta de maneira temporária, fazendo com que o potencial dentro dele seja uniforme e dependa do tempo, dado por , com . Nosso objetivo é resolver o problema para usando a Equação 9.82, mostrar que a função de onda apenas muda de fase sem ocorrer transições entre estados, e calcular essa mudança de fase em termos de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com a função de onda em um sistema quântico quando o potencial muda com o tempo. Vamos utilizar a teoria de perturbação adiabática e focar na evolução temporal da função de onda.

Passo 2

Primeiro, lembrando que em mecânica quântica, a função de onda de uma partícula no poço quadrado infinito é estacionária, ou seja, tem uma forma fixa no tempo multiplicada por uma fase que depende da energia do estado. Quando o potencial muda com o tempo, precisamos ver como isso afeta a função de onda.
A Equação 9.82 provavelmente se refere à solução geral para a evolução temporal da função de onda sob uma perturbação. Vamos considerar que a perturbação é uma modificação no potencial que depende apenas do tempo e é uniforme no espaço.

Passo 3

A solução geral para a função de onda pode ser escrita como:
Aqui, é a função de onda do estado estacionário inicial, e é a fase adquirida devido à perturbação no potencial.

Passo 4

Agora, para encontrar , usamos a definição da mudança de fase devido à energia potencial adicional:
Essa integral acumula a contribuição da energia potencial ao longo do tempo, resultando na mudança de fase da função de onda.

Passo 5

Como não há transições entre estados (a partícula permanece no mesmo estado ), a função de onda apenas adquire uma fase adicional sem mudar sua forma espacial. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição dentro do poço permanece a mesma, apenas a fase da função de onda muda.

Passo 6

Portanto, a mudança de fase em termos de é dado por:

Resposta

A mudança de fase é igual à integral de em relação ao tempo, ou seja:

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