Uma partícula se encontra (em tempo
no N -ésimo estado do poço quadrado infinito. Agora, o ‘piso’ do poço aumenta temporariamente (talvez porque entre ali um pouco de água que, mais tarde, vai desaparecer), de modo que o potencial dentro dele é uniforme e dependente do tempo:
.
Resolva o problema para
exato utilizando a Equação 9.82 , e demonstre que a função de onda muda de fase, mas não ocorrem transições. Calcule a mudança de fase,
, em termos da função
.
Resolva o problema para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula no N-ésimo estado de um poço quadrado infinito no tempo inicial
. De repente, o “piso” do poço aumenta de maneira temporária, fazendo com que o potencial dentro dele seja uniforme e dependa do tempo, dado por
, com
. Nosso objetivo é resolver o problema para
usando a Equação 9.82, mostrar que a função de onda apenas muda de fase sem ocorrer transições entre estados, e calcular essa mudança de fase
em termos de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com a função de onda em um sistema quântico quando o potencial muda com o tempo. Vamos utilizar a teoria de perturbação adiabática e focar na evolução temporal da função de onda.
Passo 2
Primeiro, lembrando que em mecânica quântica, a função de onda de uma partícula no poço quadrado infinito é estacionária, ou seja, tem uma forma fixa no tempo multiplicada por uma fase que depende da energia do estado. Quando o potencial muda com o tempo, precisamos ver como isso afeta a função de onda.
A Equação 9.82 provavelmente se refere à solução geral para a evolução temporal da função de onda sob uma perturbação. Vamos considerar que a perturbação
é uma modificação no potencial que depende apenas do tempo e é uniforme no espaço.
Passo 3
A solução geral para a função de onda
pode ser escrita como:
Aqui,
é a função de onda do estado estacionário inicial, e
é a fase adquirida devido à perturbação no potencial.
Passo 4
Agora, para encontrar
, usamos a definição da mudança de fase devido à energia potencial adicional:
Essa integral acumula a contribuição da energia potencial ao longo do tempo, resultando na mudança de fase da função de onda.
Passo 5
Como não há transições entre estados (a partícula permanece no mesmo estado
), a função de onda apenas adquire uma fase adicional sem mudar sua forma espacial. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer posição dentro do poço permanece a mesma, apenas a fase da função de onda muda.
Passo 6
Portanto, a mudança de fase
em termos de
é dado por:
Resposta
A mudança de fase
é igual à integral de
em relação ao tempo, ou seja: