Uma partícula de massa
está no estado
onde
e
são constantes reais positivas.
(b) Para qual função de energia potencial
satisfaz a equação de Schrödinger?
(b) Para qual função de energia potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula com massa
que está em um estado quântico descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual função de energia potencial
faz com que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger. Basicamente, vamos usar a equação de Schrödinger para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
onde:
-
é a unidade imaginária, -
é a constante de Planck reduzida, -
é a função de onda, -
é a energia potencial.
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada temporal
e a segunda derivada espacial
.
Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
Agora, a segunda derivada em relação ao espaço:
Primeiro, a primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando cada termo:
À esquerda:
À direita:
Passo 5
Agora, igualamos os termos de cada lado:
Para isolar
, vamos rearranjar a equação:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos:
Podemos fatorar
:
Resposta
A função de energia potencial que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é: