Uma partícula de massa está no estado
onde e são constantes reais positivas.
(b) Para qual função de energia potencial satisfaz a equação de Schrödinger?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula com massa que está em um estado quântico descrito pela função de onda:
onde e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual função de energia potencial faz com que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger. Basicamente, vamos usar a equação de Schrödinger para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
onde:
  • é a unidade imaginária,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a função de onda,
  • é a energia potencial.
Nosso objetivo é isolar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada temporal e a segunda derivada espacial .
Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
Agora, a segunda derivada em relação ao espaço:
Primeiro, a primeira derivada:
A segunda derivada:

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando cada termo:
À esquerda:
À direita:

Passo 5

Agora, igualamos os termos de cada lado:
Para isolar , vamos rearranjar a equação:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Vamos reorganizar os termos:
Podemos fatorar :

Resposta

A função de energia potencial que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é:

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