Suponha que você queira descrever uma partícula instável que espontaneamente se desintegre com um ‘tempo de vida’
. Nesse caso, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar não deveria ser constante, mas deveria diminuir a uma (digamos) razão exponencial:
Uma maneira rudimentar de obter esse resultado é a seguinte: na Equação 1.24 presumimos tacitamente que
(a energia potencial) é real. O que certamente é razoável, mas conduz à ‘conservação da probabilidade’ consagrada na Equação 1.27. E se supusermos para
uma parte imaginária:
onde
é a energia potencial verdadeira e
é uma constante real positiva?
(a) Mostre que (no lugar da Equação 1.27) agora obtemos
(a) Mostre que (no lugar da Equação 1.27) agora obtemos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que, se a energia potencial
tiver uma parte imaginária, ou seja,
, onde
é a parte real e
é uma constante real positiva, então a derivada da probabilidade
em relação ao tempo será dada por:
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a probabilidade total
de encontrar a partícula em algum lugar é dada por:
Normalmente, na mecânica quântica, se a energia potencial
é real, essa probabilidade é conservada ao longo do tempo, ou seja,
. Isso está ligado à conservação da probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar que a energia potencial
tem uma parte imaginária:
. Isso significa que a equação de Schrödinger fica modificada:
Passo 4
Para encontrar como
varia com o tempo, precisamos calcular
. Vamos derivar a expressão de
:
Passo 5
Agora, usando a equação de Schrödinger modificada, vamos substituir
e
(a função de onda complexa conjugada):
Passo 6
Substituindo essas expressões na derivada de
:
Ao substituir as derivadas, as partes reais (como
) irão se cancelar devido à conjugação, restando apenas a contribuição da parte imaginária
.
Passo 7
Fazendo as substituições e simplificando, obtemos:
Resposta
Finalmente, chegamos à relação desejada: