Suponha que você queira descrever uma partícula instável que espontaneamente se desintegre com um ‘tempo de vida’ . Nesse caso, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar não deveria ser constante, mas deveria diminuir a uma (digamos) razão exponencial:
Uma maneira rudimentar de obter esse resultado é a seguinte: na Equação 1.24 presumimos tacitamente que (a energia potencial) é real. O que certamente é razoável, mas conduz à ‘conservação da probabilidade’ consagrada na Equação 1.27. E se supusermos para uma parte imaginária:
onde é a energia potencial verdadeira e é uma constante real positiva?
(a) Mostre que (no lugar da Equação 1.27) agora obtemos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que, se a energia potencial tiver uma parte imaginária, ou seja, , onde é a parte real e é uma constante real positiva, então a derivada da probabilidade em relação ao tempo será dada por:
Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar é dada por:
Normalmente, na mecânica quântica, se a energia potencial é real, essa probabilidade é conservada ao longo do tempo, ou seja, . Isso está ligado à conservação da probabilidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar que a energia potencial tem uma parte imaginária: . Isso significa que a equação de Schrödinger fica modificada:

Passo 4

Para encontrar como varia com o tempo, precisamos calcular . Vamos derivar a expressão de :

Passo 5

Agora, usando a equação de Schrödinger modificada, vamos substituir e (a função de onda complexa conjugada):

Passo 6

Substituindo essas expressões na derivada de :
Ao substituir as derivadas, as partes reais (como ) irão se cancelar devido à conjugação, restando apenas a contribuição da parte imaginária .

Passo 7

Fazendo as substituições e simplificando, obtemos:

Resposta

Finalmente, chegamos à relação desejada:

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