Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
(e) Encontre o valor esperado de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula descrita por uma função de onda no instante . A função de onda é dada por:
á
A pergunta é para encontrar o valor esperado de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como a normalização da função de onda e o operador momentum.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como é zero fora do intervalo , a integral fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar o valor de .

Passo 3

Calculando :
Agora, integramos de a :
Expandindo :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Encontrando um denominador comum (15):
Então,

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Como a função de onda é real, , então:

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 6

Calculando a integral:
Então,
Substituindo :

Resposta

O valor esperado de é .

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