Uma partícula está representada (no instante
) pela função de onda
(e) Encontre o valor esperado de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula descrita por uma função de onda
no instante
. A função de onda é dada por:
A pergunta é para encontrar o valor esperado de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como a normalização da função de onda e o operador momentum.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do
sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como
é zero fora do intervalo
, a integral fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar o valor de
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, integramos de
a
:
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Encontrando um denominador comum (15):
Então,
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado de
, que é dado por:
Como a função de onda é real,
, então:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 6
Calculando a integral:
Então,
Substituindo
:
Resposta
O valor esperado de
é
.