Uma partícula de massa está no estado
onde e são constantes reais positivas.
© Calcule o valor esperado de , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma partícula de massa no estado dado pela função de onda:
Queremos calcular os valores esperados de , , e . Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente os valores esperados (ou expectativas) que nos dão uma ideia do comportamento médio das observáveis e . Vamos precisar normalizar a função de onda e usar os operadores correspondentes para posição e momento.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
Calculando :
A integral se torna:
Reconhecemos que essa é uma integral gaussiana, cujo resultado é:
Igualando à condição de normalização:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Substituindo e simplificando:
Observamos que a função integranda é ímpar ( é ímpar e o exponencial é par), então a integral de uma função ímpar em todo o eixo real é zero:

Passo 4

Vamos agora calcular o valor esperado de :
Substituindo :
Essa é uma integral gaussiana padrão:
Aqui, . Então,
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor esperado do momento . O operador de momento é dado por:
Então,
Calculando a derivada:
Substituindo na expressão de :
Novamente, a integral de uma função ímpar é zero:

Passo 6

Por fim, vamos calcular :
Calculando a segunda derivada:
Substituindo na expressão:
Separando as integrais:
Simplificando:
Após simplificar todos os termos, encontramos:

Resposta

Os valores esperados são:

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