Uma partícula de massa
está no estado
onde
e
são constantes reais positivas.
© Calcule o valor esperado de
,
e
.
© Calcule o valor esperado de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma partícula de massa
no estado dado pela função de onda:
Queremos calcular os valores esperados de
,
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente os valores esperados (ou expectativas) que nos dão uma ideia do comportamento médio das observáveis
e
. Vamos precisar normalizar a função de onda e usar os operadores correspondentes para posição e momento.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
Calculando
:
A integral se torna:
Reconhecemos que essa é uma integral gaussiana, cujo resultado é:
Igualando à condição de normalização:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de
, que é dado por:
Substituindo
e simplificando:
Observamos que a função integranda é ímpar (
é ímpar e o exponencial é par), então a integral de uma função ímpar em todo o eixo real é zero:
Passo 4
Vamos agora calcular o valor esperado de
:
Substituindo
:
Essa é uma integral gaussiana padrão:
Aqui,
. Então,
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor esperado do momento
. O operador de momento é dado por:
Então,
Calculando a derivada:
Substituindo na expressão de
:
Novamente, a integral de uma função ímpar é zero:
Passo 6
Por fim, vamos calcular
:
Calculando a segunda derivada:
Substituindo na expressão:
Separando as integrais:
Simplificando:
Após simplificar todos os termos, encontramos:
Resposta
Os valores esperados são: