Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
(g) Encontre a incerteza em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema nos apresenta uma função de onda de uma partícula no instante inicial . Nosso objetivo aqui é encontrar a incerteza no momento , que chamamos de . Para isso, vamos precisar normalizar a função de onda, calcular alguns valores esperados e utilizar a definição de incerteza.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda . Normalizar significa ajustar o valor de de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é feito integrando de a e igualando a 1.

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Expandindo :
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:
Então:

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor esperado do momento . O operador do momento na mecânica quântica é dado por:
Para calcular , usamos:
Como é real e simétrica, a derivada será uma função ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Isso é feito aplicando o operador do momento duas vezes:
Primeiro, vamos achar a segunda derivada de . Partindo de:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Então:
Calculando a integral:
Substituindo que encontramos antes:

Passo 6

Por fim, a incerteza no momento é dada por:
Como :

Resposta

A incerteza no momento é .

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