Uma partícula está representada (no instante
) pela função de onda
(g) Encontre a incerteza em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema nos apresenta uma função de onda
de uma partícula no instante inicial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a incerteza no momento
, que chamamos de
. Para isso, vamos precisar normalizar a função de onda, calcular alguns valores esperados e utilizar a definição de incerteza.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda
. Normalizar significa ajustar o valor de
de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matematicamente, isso é feito integrando
de
a
e igualando a 1.
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Expandindo
:
Agora, integramos termo a termo:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o valor esperado do momento
. O operador do momento na mecânica quântica é dado por:
Para calcular
, usamos:
Como
é real e simétrica, a derivada será uma função ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Isso é feito aplicando o operador do momento duas vezes:
Primeiro, vamos achar a segunda derivada de
. Partindo de:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Então:
Calculando a integral:
Substituindo
que encontramos antes:
Passo 6
Por fim, a incerteza no momento
é dada por:
Como
:
Resposta
A incerteza no momento
é
.