Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(a) Normalize
. (Isto é, calcule
. É muito fácil se você explorar a ortonormalidade de
. Lembre-se de que, tendo normalizado
em
, você pode ter certeza de que ela permanecerá normalizada. Se tiver dúvidas, verifique-o explicitamente após resolver a parte (b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula presa em um poço quadrado infinito e a função de onda inicial dela é uma mistura dos dois primeiros estados estacionários. O que a gente precisa fazer aqui é normalizar essa função de onda, ou seja, encontrar o valor de
que faz com que a probabilidade total seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de ortonormalidade das funções de onda estacionárias, que basicamente significa que diferentes estados são “perpendiculares” entre si e cada estado é normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de onda inicial que você deu:
A gente quer que essa função de onda seja normalizada, ou seja:
Onde
é o comprimento do poço.
Passo 3
Vamos expandir o quadrado da função de onda:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos usar a ortonormalidade das funções
e
. Isso significa que:
- Cada função individualmente é normalizada:
- Funções diferentes são ortogonais:
Passo 5
Aplicando essas propriedades na nossa integral:
Então, temos:
Passo 6
Agora, é só resolver para
:
Resposta
O valor de
que normaliza a função de onda é: