Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(a) Normalize . (Isto é, calcule . É muito fácil se você explorar a ortonormalidade de . Lembre-se de que, tendo normalizado em , você pode ter certeza de que ela permanecerá normalizada. Se tiver dúvidas, verifique-o explicitamente após resolver a parte (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula presa em um poço quadrado infinito e a função de onda inicial dela é uma mistura dos dois primeiros estados estacionários. O que a gente precisa fazer aqui é normalizar essa função de onda, ou seja, encontrar o valor de que faz com que a probabilidade total seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de ortonormalidade das funções de onda estacionárias, que basicamente significa que diferentes estados são “perpendiculares” entre si e cada estado é normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de onda inicial que você deu:
A gente quer que essa função de onda seja normalizada, ou seja:
Onde é o comprimento do poço.

Passo 3

Vamos expandir o quadrado da função de onda:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar a ortonormalidade das funções e . Isso significa que:
  1. Cada função individualmente é normalizada:
  2. Funções diferentes são ortogonais:

Passo 5

Aplicando essas propriedades na nossa integral:
Então, temos:

Passo 6

Agora, é só resolver para :

Resposta

O valor de que normaliza a função de onda é:

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