Demonstre que deve exceder o valor mínimo de para cada solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. Qual é o equivalente clássico para essa afirmação? Dica: reescreva a Equação 2.5 na forma de
se , então e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal; demonstre que tal função não pode ser normalizada.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que provar que a energia de uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo sempre precisa ser maior que o valor mínimo da função potencial . Além disso, queremos saber qual é o equivalente clássico dessa afirmação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente da equação de Schrödinger. Vamos precisar manipular a equação fornecida e analisar o comportamento da função de onda .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a Equação 2.5 na forma sugerida na dica:
Aqui, é a massa da partícula, é a constante de Planck reduzida, é o potencial, é a energia, e é a função de onda.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso onde , ou seja, a energia é menor que o valor mínimo do potencial . Nesse cenário, a diferença será sempre positiva, já que nunca será menor que . Portanto, temos:
Isso implica que:

Passo 4

Da equação acima, vemos que a segunda derivada de tem o mesmo sinal da própria função . Ou seja, e sempre têm o mesmo sinal. Vamos analisar o que isso significa.
Quando uma função e sua segunda derivada têm o mesmo sinal, a função tende a ser convexa ou côncava em toda a sua extensão. Em outras palavras, não pode apresentar pontos de inflexão onde mudaria de concavidade, o que limita sua forma.

Passo 5

Para uma função ser normalizável, ela precisa ser limitada e tender a zero quando vai para . Porém, se e sua segunda derivada sempre têm o mesmo sinal, a função não pode se comportar dessa maneira. Ela tenderia a crescer exponencialmente em vez de decair, o que significa que a integral do quadrado de sobre todo o espaço não seria finita. Portanto, não pode ser normalizada se .

Passo 6

Concluindo, mostramos que para qualquer solução normaliz��vel da equação de Schrödinger independente do tempo, a energia deve ser maior ou igual ao valor mínimo do potencial . Se isso não ocorrer, a função de onda não pode ser normalizada, o que não é fisicamente aceitável.
Equivalente Clássico: Na mecânica clássica, uma partícula precisa ter energia suficiente para “subir” sobre uma barreira de potencial. Se a energia da partícula for menor que a energia mínima do potencial, ela não consegue superar essa barreira e fica “presa”. Da mesma forma, na mecânica quântica, a energia deve ser suficiente para que a função de onda seja uma solução fisicamente aceitável.

Resposta

Assim, demonstramos que deve ser maior ou igual ao valor mínimo de para que exista uma solução normalizável da equação de Schrödinger independente do tempo. O equivalente clássico dessa afirmação é que uma partícula precisa ter energia suficiente para superar a barreira de potencial, caso contrário, ela não pode se mover livremente.

Exercícios de Livros Relacionados