Calcule e para o -ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito. Quais estados ficam próximos ao limite da incerteza?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular os valores esperados , , , , e para o -ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Além disso, precisamos verificar se o princípio da incerteza é satisfeito e identificar quais estados estão próximos ao limite da incerteza. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica como funções de onda, operadores de observáveis, e o próprio princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função de onda para o -ésimo estado estacionário no poço quadrado infinito. A função de onda é dada por:
onde é o comprimento do poço e é um número inteiro positivo.

Passo 3

Vamos calcular , o valor esperado da posição. Isso é dado por:
Para a função de onda simétrica do poço infinito, devido à simetria do problema, percebemos que . Isso faz sentido, j�� que a partícula tem a mesma probabilidade de estar em qualquer posição em relação ao centro do poço.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Realizando a integração, encontramos:
Isso mostra como o valor esperado de varia com o número quântico .

Passo 5

Vamos calcular , o valor esperado do momento. Usando o operador de momento :
Devido à simetria e às propriedades das funções seno, descobrimos que . Isso ocorre porque a média das componentes de momento positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Agora, calculamos :
Após a derivação e integração, obtemos:
Esse resultado está relacionado à energia do estado estacionário.

Passo 7

Agora, vamos calcular os desvios padrão e . O desvio padrão é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Para :

Passo 8

Vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que:
Substituindo e :
Após simplificar, vemos que a desigualdade é satisfeita para todos os valores de , confirmando o princípio da incerteza.

Passo 9

Por fim, para identificar quais estados ficam próximos ao limite da incerteza, observamos que conforme aumenta, diminui e aumenta. Portanto, estados com altos valores de tendem a se aproximar do limite imposto pelo princípio da incerteza, já que a incerteza em posição se torna muito pequena enquanto a incerteza no momento se torna muito grande.

Resposta

Calculamos que , , , , com desvios padrão e . O princípio da incerteza foi satisfeita para todos os estados, e estados com grandes valores de ficam próximos ao limite da incerteza.

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