Calcule
e
para o
-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito. Quais estados ficam próximos ao limite da incerteza?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular os valores esperados
,
,
,
,
e
para o
-ésimo estado estacionário do poço quadrado infinito. Além disso, precisamos verificar se o princípio da incerteza é satisfeito e identificar quais estados estão próximos ao limite da incerteza. Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica como funções de onda, operadores de observáveis, e o próprio princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função de onda para o
-ésimo estado estacionário no poço quadrado infinito. A função de onda é dada por:
onde
é o comprimento do poço e
é um número inteiro positivo.
Passo 3
Vamos calcular
, o valor esperado da posição. Isso é dado por:
Para a função de onda simétrica do poço infinito, devido à simetria do problema, percebemos que
. Isso faz sentido, j�� que a partícula tem a mesma probabilidade de estar em qualquer posição em relação ao centro do poço.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Realizando a integração, encontramos:
Isso mostra como o valor esperado de
varia com o número quântico
.
Passo 5
Vamos calcular
, o valor esperado do momento. Usando o operador de momento
:
Devido à simetria e às propriedades das funções seno, descobrimos que
. Isso ocorre porque a média das componentes de momento positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Agora, calculamos
:
Após a derivação e integração, obtemos:
Esse resultado está relacionado à energia do estado estacionário.
Passo 7
Agora, vamos calcular os desvios padrão
e
. O desvio padrão é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Para
:
Passo 8
Vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que:
Substituindo
e
:
Após simplificar, vemos que a desigualdade é satisfeita para todos os valores de
, confirmando o princípio da incerteza.
Passo 9
Por fim, para identificar quais estados ficam próximos ao limite da incerteza, observamos que conforme
aumenta,
diminui e
aumenta. Portanto, estados com altos valores de
tendem a se aproximar do limite imposto pelo princípio da incerteza, já que a incerteza em posição se torna muito pequena enquanto a incerteza no momento se torna muito grande.
Resposta
Calculamos que
,
,
,
, com desvios padrão
e
. O princípio da incerteza foi satisfeita para todos os estados, e estados com grandes valores de
ficam próximos ao limite da incerteza.