A função de onda independente do tempo sempre pode ser considerada real (diferentemente de , que é necessariamente complexa). Isso não significa que toda solução para a equação de Schrödinger independente do tempo é real, mas, sim, que se você obtém uma solução que não é real, ela pode ser sempre expressa como uma combinação linear de soluções (com a mesma energia) que o são. Assim, você pode manter as que são reais. Dica: se satisfaz a Equação 2.5 para dada , então o seu complexo conjugado também a satisfaz e, portanto, também as combinações lineares reais e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício fala sobre a função de onda independente do tempo na mecânica quântica. A gente precisa entender por que essa função pode ser considerada real e como, mesmo se ela for complexa, dá pra escrevê-la como uma combinação de funções reais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais complexas e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Schrödinger independente do tempo. Ela é dada por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial, e é a energia.

Passo 3

A função de onda pode ser complexa, ou seja, ela pode ter uma parte real e uma imaginária. Mas o exercício diz que mesmo que não seja real, seu conjugado complexo também satisfaz a mesma equação para a mesma energia . Isso significa que tanto quanto são soluções válidas da equação de Schrödinger.

Passo 4

Agora vem a parte interessante: se a gente tem duas soluções e para a mesma energia, qualquer combinação linear delas também será uma solução. Vamos construir duas combinações específicas:
  1. Parte real:
  1. Parte imaginária:

Passo 5

Vamos verificar se essas combinações são reais:
  1. Para :
éçã
  1. Para :
çãá

Passo 6

Então, qualquer função de onda complexa pode ser decomposta em duas partes reais e . Assim, podemos sempre trabalhar com funções de onda reais sem perder nenhuma informação sobre o sistema.

Resposta

Qualquer solução complexa da equação de Schrödinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções de onda reais e , garantindo que possamos sempre trabalhar com funções reais.

Exercícios de Livros Relacionados