A função de onda independente do tempo
sempre pode ser considerada real (diferentemente de
, que é necessariamente complexa). Isso não significa que toda solução para a equação de Schrödinger independente do tempo é real, mas, sim, que se você obtém uma solução que não é real, ela pode ser sempre expressa como uma combinação linear de soluções (com a mesma energia) que o são. Assim, você pode manter as
que são reais. Dica: se
satisfaz a Equação 2.5 para dada
, então o seu complexo conjugado também a satisfaz e, portanto, também as combinações lineares reais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício fala sobre a função de onda independente do tempo
na mecânica quântica. A gente precisa entender por que essa função pode ser considerada real e como, mesmo se ela for complexa, dá pra escrevê-la como uma combinação de funções reais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais complexas e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Equação de Schrödinger independente do tempo. Ela é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o potencial, e
é a energia.
Passo 3
A função de onda
pode ser complexa, ou seja, ela pode ter uma parte real e uma imaginária. Mas o exercício diz que mesmo que
não seja real, seu conjugado complexo
também satisfaz a mesma equação para a mesma energia
. Isso significa que tanto
quanto
são soluções válidas da equação de Schrödinger.
Passo 4
Agora vem a parte interessante: se a gente tem duas soluções
e
para a mesma energia, qualquer combinação linear delas também será uma solução. Vamos construir duas combinações específicas:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Vamos verificar se essas combinações são reais:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Então, qualquer função de onda complexa
pode ser decomposta em duas partes reais
e
. Assim, podemos sempre trabalhar com funções de onda reais sem perder nenhuma informação sobre o sistema.
Resposta
Qualquer solução complexa da equação de Schrödinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções de onda reais
e
, garantindo que possamos sempre trabalhar com funções reais.