Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
(d) Calcule . (Peter Lorre diria ‘Faça do jeito mais rápido, Johnny!’, com seu sotaque bem carregado.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula num poço quadrado infinito, e a função de onda inicial dela é uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários. O assunto aqui é Mecânica Quântica, especificamente valores esperados. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer as funções de onda dos estados estacionários e como calcular o valor médio do momentum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado do momentum, que é representado por ⟨p⟩. A fórmula é:
Aqui, é a função de onda inicial, é o complexo conjugado dela, e é a largura do poço.

Passo 3

A função de onda inicial dada é:
Vamos substituir isso na expressão de ⟨p⟩:

Passo 4

Agora, vamos expandir o que está dentro da integral:

Passo 5

Sabemos que as funções de onda estacionárias no poço quadrado infinito são reais. Isso significa que os termos que envolvem ou multiplicados por suas próprias derivadas vão se anular. Fica só os termos cruzados:

Passo 6

Vamos lembrar quais são as funções de onda no poço infinito:
Então, as derivadas são:

Passo 7

Substituindo as derivadas na expressão de ⟨p⟩:

Passo 8

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica pra simplificar as integrais. Sabemos que:
Aplicando isso nas integrais, percebemos que elas se cancelam devido às simetrias do intervalo de integração, ou seja, de 0 a .

Passo 9

Como resultado, todas as integrais vão dar zero. Portanto:

Resposta

O valor esperado do momentum é zero: ⟨p⟩ = 0

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