Suponha que a função de onda de uma partícula se inicie em uma combinação linear de apenas dois estados estacionários:
(Para simplificar, presumirei que as constantes
os estados
são reais.) Qual é a função de onda
nos tempos subsequentes? Calcule a densidade de probabilidade e descreva seu movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar como a função de onda de uma partícula evolui no tempo quando ela começa sendo uma combinação de dois estados estacionários. A matéria envolve mecânica quântica, especificamente estados estacionários e evolução temporal da função de onda. Para resolver, vamos precisar entender como cada estado estacionário evolui no tempo e como combinar esses resultados para obter a função de onda completa em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um estado estacionário é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo, onde a energia é bem definida. Se a partícula está em um estado estacionário
com energia
, a evolução temporal desse estado é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, e a parte exponencial representa a mudança de fase com o tempo.
Passo 3
Como a função de onda inicial
é uma combinação linear de dois estados estacionários, ou seja,
a evolução temporal da função de onda
será a combinação das evoluções temporais de cada estado separado. Então, aplicando o que aprendemos no passo anterior:
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade de probabilidade, que é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda:
Vamos multiplicar a função de onda pelo seu complexo conjugado. Como
e
são reais, e
e
também são reais, isso simplifica um pouco as coisas.
Multiplicando, temos:
Passo 5
Vamos entender o que essa densidade de probabilidade nos diz sobre o movimento da partícula. A expressão acima mostra que a densidade de probabilidade não é constante no tempo devido ao termo de interferência
. Esse termo faz a densidade oscilar no tempo com uma frequência relacionada à diferença de energias
.
Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
varia periodicamente no tempo, indicando um movimento ondulatório resultante da superposição dos dois estados estacionários.
Resposta
A função de onda nos tempos subsequentes é
A densidade de probabilidade associada é
Isso mostra que a densidade de probabilidade oscila no tempo, indicando um movimento ondulatório devido à interferência entre os dois estados estacionários.