Uma partícula está representada (no instante
) pela função de onda
(b) Qual é o valor esperado de
(no instante
)?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda
que descreve a posição de uma partícula no instante
. A função é dada por:
Nosso objetivo é encontrar o valor esperado de
, que é essencialmente a posição média onde a partícula está localizada nesse instante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados à função de onda e ao cálculo de valores esperados.
Passo 2
Antes de calcular o valor esperado, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. A normalização assegura que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como
é zero fora do intervalo
, a integral se reduz a:
Passo 3
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de
. Primeiro, elevamos ao quadrado a função de onda:
Agora, expandimos o termo
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral termo a termo:
Somando todos:
Passo 5
Voltando à equação de normalização:
Resolvendo para
:
Portanto,
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular o valor esperado de
, que é dado por:
Novamente, como
é zero fora de
, a integral fica:
Passo 7
Substituindo
na expressão:
Vamos analisar cada termo da integral:
-
: Esta é uma função ímpar ( é ímpar e é constante par), então a integral de a será 0. -
: Novamente, é ímpar, então a integral será 0. -
: é ímpar, então a integral também será 0.
Passo 8
Somando todos os termos, temos:
Resposta
O valor esperado de
no instante
é zero, ou seja,
.