Uma partícula está representada (no instante ) pela função de onda
á
(b) Qual é o valor esperado de (no instante )?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve a posição de uma partícula no instante . A função é dada por:
á
Nosso objetivo é encontrar o valor esperado de , que é essencialmente a posição média onde a partícula está localizada nesse instante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica relacionados à função de onda e ao cálculo de valores esperados.

Passo 2

Antes de calcular o valor esperado, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. A normalização assegura que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. Isso significa que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como é zero fora do intervalo , a integral se reduz a:

Passo 3

Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de . Primeiro, elevamos ao quadrado a função de onda:
Agora, expandimos o termo :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral termo a termo:
Somando todos:

Passo 5

Voltando à equação de normalização:
Resolvendo para :
Portanto,

Passo 6

Agora que temos , podemos calcular o valor esperado de , que é dado por:
Novamente, como é zero fora de , a integral fica:

Passo 7

Substituindo na expressão:
Vamos analisar cada termo da integral:
  1. : Esta é uma função ímpar ( é ímpar e é constante par), então a integral de a será 0.
  2. : Novamente, é ímpar, então a integral será 0.
  3. : é ímpar, então a integral também será 0.

Passo 8

Somando todos os termos, temos:

Resposta

O valor esperado de no instante é zero, ou seja, .

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