O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre .
© Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um ponteiro de velocímetro que pode parar em qualquer ângulo entre e de forma igual. Queremos calcular as médias de , e . Isso está relacionado com estatística e probabilidade, onde vamos usar integrais para encontrar essas médias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como o ponteiro pode parar igualmente em qualquer ângulo entre e , a variável tem uma distribuição uniforme nesse intervalo. Isso significa que a função densidade de probabilidade é constante e igual a para .

Passo 3

A média (ou valor esperado) de uma função é dada pela integral:
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Substituindo na fórmula:

Passo 5

Integrando :
Aplicando os limites de integração:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites de integração:
Portanto, .

Passo 8

Por fim, vamos calcular :

Passo 9

Usando a identidade trigonométrica , temos:
Integrando:
Então, .

Resposta

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