O ponteiro do velocímetro quebrado de um carro está livre para girar, e reflete perfeitamente nas extremidades, de modo que se você empurrá-lo, é igualmente provável que venha a parar em qualquer ângulo entre
.
© Calcule
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© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um ponteiro de velocímetro que pode parar em qualquer ângulo entre
e
de forma igual. Queremos calcular as médias de
,
e
. Isso está relacionado com estatística e probabilidade, onde vamos usar integrais para encontrar essas médias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como o ponteiro pode parar igualmente em qualquer ângulo entre
e
, a variável
tem uma distribuição uniforme nesse intervalo. Isso significa que a função densidade de probabilidade é constante e igual a
para
.
Passo 3
A média (ou valor esperado) de uma função
é dada pela integral:
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Portanto,
.
Passo 8
Por fim, vamos calcular
:
Passo 9
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Integrando:
Então,
.