Suponha que você queira descrever uma partícula instável que espontaneamente se desintegre com um ‘tempo de vida’
. Nesse caso, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar não deveria ser constante, mas deveria diminuir a uma (digamos) razão exponencial:
Uma maneira rudimentar de obter esse resultado é a seguinte: na Equação 1.24 presumimos tacitamente que
(a energia potencial) é real. O que certamente é razoável, mas conduz à ‘conservação da probabilidade’ consagrada na Equação 1.27. E se supusermos para
uma parte imaginária:
onde
é a energia potencial verdadeira e
é uma constante real positiva?
(b) Determine
e encontre o tempo de vida da partícula em termos de
.
(b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que não é estável e vai se desintegrar com o tempo. A probabilidade de encontrar essa partícula diminui de forma exponencial com o tempo, o que está representado pela fórmula:
Aqui,
é o ‘tempo de vida’ da partícula. A questão sugere que, para modelar essa desintegração, podemos modificar a energia potencial
adicionando uma parte imaginária, ficando:
Nosso objetivo é determinar como essa modificação afeta a probabilidade
e encontrar o tempo de vida
em termos de
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre a equação de Schrödinger com uma potencial complexa e como isso influencia a evolução temporal da função de onda
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que descreve como a função de onda
evolui ao longo do tempo:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o potencial.
No nosso caso, o potencial
tem uma parte imaginária:
. Isso significa que a energia potencial não é mais apenas real, mas também possui uma componente imaginária que vai influenciar a evolução da função de onda.
Passo 3
Vamos assumir que a função de onda
pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal:
Substituindo isso na equação de Schrödinger, obtemos:
Mas como
tem uma parte imaginária, isso implica que a energia
também pode ter uma parte imaginária. Vamos escrever a energia como
, onde
é a energia real.
Passo 4
Com a energia complexa, a função temporal fica:
Aqui, vemos que a função de onda tem uma parte oscilatória
e uma parte decrescente
. Essa parte decrescente é responsável pela diminuição da probabilidade de encontrar a partícula ao longo do tempo.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade
de encontrar a partícula em algum lugar no espaço:
Assumindo que a função de onda está normalizada inicialmente, ou seja,
, temos:
Passo 6
Queremos comparar isso com a expressão dada inicialmente:
Então, igualando os expoentes:
Cancelando
dos dois lados:
Portanto, isolando
:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no tempo
é dada por
E o tempo de vida da partícula está relacionado à constante
por