Suponha que você queira descrever uma partícula instável que espontaneamente se desintegre com um ‘tempo de vida’ . Nesse caso, a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar não deveria ser constante, mas deveria diminuir a uma (digamos) razão exponencial:
Uma maneira rudimentar de obter esse resultado é a seguinte: na Equação 1.24 presumimos tacitamente que (a energia potencial) é real. O que certamente é razoável, mas conduz à ‘conservação da probabilidade’ consagrada na Equação 1.27. E se supusermos para uma parte imaginária:
onde é a energia potencial verdadeira e é uma constante real positiva?
(b) Determine e encontre o tempo de vida da partícula em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que não é estável e vai se desintegrar com o tempo. A probabilidade de encontrar essa partícula diminui de forma exponencial com o tempo, o que está representado pela fórmula:
Aqui, é o ‘tempo de vida’ da partícula. A questão sugere que, para modelar essa desintegração, podemos modificar a energia potencial adicionando uma parte imaginária, ficando:
Nosso objetivo é determinar como essa modificação afeta a probabilidade e encontrar o tempo de vida em termos de . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre a equação de Schrödinger com uma potencial complexa e como isso influencia a evolução temporal da função de onda .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que descreve como a função de onda evolui ao longo do tempo:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o potencial.
No nosso caso, o potencial tem uma parte imaginária: . Isso significa que a energia potencial não é mais apenas real, mas também possui uma componente imaginária que vai influenciar a evolução da função de onda.

Passo 3

Vamos assumir que a função de onda pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal:
Substituindo isso na equação de Schrödinger, obtemos:
Mas como tem uma parte imaginária, isso implica que a energia também pode ter uma parte imaginária. Vamos escrever a energia como , onde é a energia real.

Passo 4

Com a energia complexa, a função temporal fica:
Aqui, vemos que a função de onda tem uma parte oscilatória e uma parte decrescente . Essa parte decrescente é responsável pela diminuição da probabilidade de encontrar a partícula ao longo do tempo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar no espaço:
Assumindo que a função de onda está normalizada inicialmente, ou seja, , temos:

Passo 6

Queremos comparar isso com a expressão dada inicialmente:
Então, igualando os expoentes:
Cancelando dos dois lados:
Portanto, isolando :

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no tempo é dada por
E o tempo de vida da partícula está relacionado à constante por

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