Uma partícula sai da origem com velocidade se move no plano com aceleraçāo variável dada por , onde é dado em metros por segundo ao quadrado e em segundos. (a) Determine a velocidade da partícula como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de no tempo . Ela se move no plano e tem uma aceleração que varia com o tempo, dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade dessa partícula muda ao longo do tempo, ou seja, encontrar a função da velocidade .
Para resolver isso, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, e que precisamos considerar a condição inicial da velocidade. Vamos usar cálculo básico e conceitos de vetores para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a aceleração vetor:
Isso significa que a aceleração está apenas na direção , e varia com a raiz quadrada do tempo.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral para a velocidade é:
Onde é a velocidade inicial.

Passo 4

Vamos fazer a integração componente por componente. A velocidade inicial é , o que significa que na direção não há aceleração, então a componente da velocidade permanece constante:

Passo 5

Na direção , a aceleração varia com o tempo. Vamos então integrar a componente da aceleração:
Aqui, trocamos por para evitar confusão na integração.

Passo 6

Resolvendo a integral:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:

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