Uma partícula sai da origem com velocidade
se move no plano
com aceleraçāo variável dada por
, onde
é dado em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. (a) Determine a velocidade da partícula como função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial de
no tempo
. Ela se move no plano
e tem uma aceleração que varia com o tempo, dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade dessa partícula muda ao longo do tempo, ou seja, encontrar a função da velocidade
.
Para resolver isso, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, e que precisamos considerar a condição inicial da velocidade. Vamos usar cálculo básico e conceitos de vetores para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a aceleração vetor:
Isso significa que a aceleração está apenas na direção
, e varia com a raiz quadrada do tempo.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral para a velocidade é:
Onde
é a velocidade inicial.
Passo 4
Vamos fazer a integração componente por componente. A velocidade inicial é
, o que significa que na direção
não há aceleração, então a componente
da velocidade permanece constante:
Passo 5
Na direção
, a aceleração varia com o tempo. Vamos então integrar a componente
da aceleração:
Aqui, trocamos
por
para evitar confusão na integração.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é: