B As coordenadas de um corpo se movendo no plano
variam com o tempo de acordo com as equaçōes
e
, onde
é uma constante,
e
estāo dados em metros e
em segundos. © Escreva expressōes para o vetor posição, o vetor velocidade e
vetor aceleração do corpo em qualquer instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo se movendo no plano XY com as coordenadas dadas por
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores posição, velocidade e aceleração, além de derivadas. Vamos precisar derivar essas equações em relação ao tempo para encontrar as expressões pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor posição
. Esse vetor simplesmente junta as coordenadas
e
em uma forma vetorial.
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor velocidade
, precisamos derivar o vetor posição
em relação ao tempo
. A derivada de uma função seno ou cosseno envolve a constante
por causa da regra da cadeia.
Derivando cada componente:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 4
Finalmente, para encontrar o vetor aceleração
, derivamos o vetor velocidade
em relação ao tempo
. Mais uma vez, aplicamos as regras de derivação para seno e cosseno.
Derivando cada componente:
Então, o vetor aceleração fica:
Resposta
As expressões para o vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração do corpo em qualquer instante
são: