Q S Uma pedra é jogada para cima a partir do solo de tal maneira que a altura máxima do seu percurso é igual ao seu alcance horizontal
. (a) A que ângulo
a pedra é jogada?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pedra que é jogada para cima do chão, e a altura máxima que ela alcança durante o percurso é igual à distância que ela percorre horizontalmente, que chamamos de alcance
. O conteúdo principal aqui é o movimento de projéteis. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam a altura máxima e o alcance de um projétil, além de algumas relações trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a altura máxima (
) de um projétil. A fórmula é:
Onde:
-
é a velocidade inicial de lançamento, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula do alcance horizontal (
) de um projétil:
Essa fórmula nos diz até onde a pedra vai horizontalmente antes de voltar ao chão.
Passo 4
Segundo o enunciado, a altura máxima
é igual ao alcance
. Então, podemos igualar as duas fórmulas:
Aqui, a gente vai simplificar essa equação para achar o ângulo
.
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(assumindo que
e
não são zero):
Passo 6
Sabemos que
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora, vamos dividir ambos os lados por
(considerando que
não é zero):
Passo 9
Dividindo os dois lados por
, obtemos:
Aqui, usamos a relação trigonométrica
.
Passo 10
Para encontrar o ângulo
, vamos usar a função arco-tangente:
Calculando isso, obtemos o valor de
.
Resposta
O ângulo de lançamento
é aproximadamente
.