Q S Uma pedra é jogada para cima a partir do solo de tal maneira que a altura máxima do seu percurso é igual ao seu alcance horizontal . (a) A que ângulo a pedra é jogada?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma pedra que é jogada para cima do chão, e a altura máxima que ela alcança durante o percurso é igual à distância que ela percorre horizontalmente, que chamamos de alcance . O conteúdo principal aqui é o movimento de projéteis. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam a altura máxima e o alcance de um projétil, além de algumas relações trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a altura máxima ( ) de um projétil. A fórmula é:
Onde:
  • é a velocidade inicial de lançamento,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula do alcance horizontal ( ) de um projétil:
Essa fórmula nos diz até onde a pedra vai horizontalmente antes de voltar ao chão.

Passo 4

Segundo o enunciado, a altura máxima é igual ao alcance . Então, podemos igualar as duas fórmulas:
Aqui, a gente vai simplificar essa equação para achar o ângulo .

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (assumindo que e não são zero):

Passo 6

Sabemos que . Vamos substituir isso na equação:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

Passo 8

Agora, vamos dividir ambos os lados por (considerando que não é zero):

Passo 9

Dividindo os dois lados por , obtemos:
Aqui, usamos a relação trigonométrica .

Passo 10

Para encontrar o ângulo , vamos usar a função arco-tangente:
Calculando isso, obtemos o valor de .

Resposta

O ângulo de lançamento é aproximadamente .

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