Um pêndulo simples consiste em uma pequena esfera de massa pendurada em um ponto fixo através de um cordão de tamanho . Calcule a energia potencial gravitacional da esfera quando ela estiver em uma posição tal que o cordão faça um ângulo com a vertical. Use como referência de energia potencial a posição em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um pêndulo simples, que é basicamente uma pequena esfera de massa pendurada por um cordão de comprimento . A questão pede para calcular a energia potencial gravitacional dessa esfera quando o cordão forma um ângulo com a vertical. A gente vai usar a posição em que como referência, ou seja, onde a energia potencial é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia potencial gravitacional e como calcular a altura que a esfera sobe quando se desvia dessa posição vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia potencial gravitacional. Ela é a energia que um objeto tem por estar numa certa posição num campo gravitacional, como o da Terra. A fórmula básica é:
Onde:
  • é a energia potencial,
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ²),
  • é a altura em relação à referência escolhida.

Passo 3

No nosso caso, a referência é a posição onde , ou seja, quando o pêndulo está na vertical para baixo. Então, precisamos descobrir qual é a altura que a esfera atinge quando o pêndulo está fazendo um ângulo com a vertical.

Passo 4

Vamos visualizar isso: quando o pêndulo está no ângulo , a esfera está mais alta do que na posição vertical. A altura pode ser encontrada observando o triângulo formado pelo cordão do pêndulo.
Imagine o cordão formando um triângulo onde:
  • O comprimento do cordão é ,
  • O ângulo com a vertical é ,
  • A altura que queremos é a diferença entre o comprimento do cordão e a projeção vertical dele.
A projeção vertical do cordão é . Então, a altura é:

Passo 5

Agora que temos a altura , podemos substituir na fórmula da energia potencial gravitacional:

Resposta

A energia potencial gravitacional da esfera é:

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