*32. De um penhasco que está 9,5 \mathrm{~m} acima de um lago, uma jovem (massa =41 \mathrm{~kg} ) salta do repouso, entrando na água após seguir uma trajetória vertical. No instante em que ela bate na água, qual o seu comprimento de onda de De Broglie?

Passo 1

O enunciado descreve uma jovem de massa m=41\,\mathrm{kg} que parte do repouso a uma altura h=9,5\,\mathrm{m} e cai verticalmente até a água. Para achar o comprimento de onda de De Broglie no instante do impacto, vamos usar conservação de energia mecânica para obter a velocidade v e depois a relação \lambda=\dfrac{h_P}{p}, onde p é o momento linear e h_P a constante de Planck.

Passo 2

Na queda livre, a energia potencial gravitacional mgh se converte em energia cinética \tfrac12mv^2.
m g h = \tfrac12 m v^2
Isolando v: v = \sqrt{2\,g\,h}

Passo 3

Substituindo g=9,8\,\mathrm{m/s^2} e h=9,5\,\mathrm{m} obtemos
v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 9,5}\approx 13,6\,\mathrm{m/s}

Passo 4

O momento linear ao atingir a água é
p = m\,v = 41\,\mathrm{kg} \times 13,6\,\mathrm{m/s}\approx 558\,\mathrm{kg\cdot m/s}

Passo 5

Pela relação de De Broglie, \lambda = \dfrac{h_P}{p} com h_P=6,63\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}. Logo,
\lambda = \frac{6,63\times10^{-34}}{558}\approx 1,19\times10^{-36}\,\mathrm{m}

Resposta

\lambda\approx 1,2\times10^{-36}\,\mathrm{m}

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