Calcule a energia de Fermi para elétrons não interagentes em um poço quadrado infinito bidimensional. Seja o número de elétrons livres por unidade de área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a energia de Fermi para elétrons que não interagem entre si dentro de um poço quadrado infinito bidimensional. A gente tem que usar o conceito de densidade de elétrons livres, que é representada por , indicando quantos elétrons existem por unidade de área. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a estrutura dos níveis de energia em sistemas bidimensionais e como calcular a energia de Fermi a partir da densidade de elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a energia de Fermi. Ela representa a energia do elétron mais energético no zero absoluto de temperatura. Em sistemas com muitos elétrons, como metais, essa energia nos dá uma ideia de como os elétrons estão distribuídos nos níveis de energia.

Passo 3

Como estamos lidando com um poço quadrado infinito bidimensional, os elétrons estão confinados em duas dimensões. A solução das equações de Schrödinger para esse sistema nos dá níveis de energia quantizados. A energia dos elétrons nesse caso é dada por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa do elétron, é o tamanho do poço em cada direção, e e são números quânticos positivos inteiros.

Passo 4

No caso bidimensional, a densidade de estados – que nos diz quantos estados de energia existem por unidade de área e por unidade de energia – é constante e dada por:
Isso simplifica bastante os nossos cálculos, já que a densidade de estados não depende da energia.

Passo 5

A densidade de elétrons livres está relacionada com a energia de Fermi pela integral da densidade de estados até . Em duas dimensões, essa relação é simples porque é constante:

Passo 6

Agora, vamos substituir a expressão de na equação acima:
Para encontrar , basta isolar na equação:

Passo 7

Pronto! Encontramos a expressão da energia de Fermi em termos da densidade de elétrons livres .

Resposta

A energia de Fermi é dada por:

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