A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde e são constantes. Descreva a órbita da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula em movimento como uma função do tempo:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é descrever a trajetória (ou órbita) dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial e entender como as funções trigonométricas e determinam o movimento no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as componentes da posição separadamente. A posição tem duas partes:
  • Na direção do eixo :
  • Na direção do eixo :
Essas funções nos dizem como a partícula se move ao longo de cada eixo ao longo do tempo.

Passo 3

Para entender a trajetória completa, queremos relacionar e sem depender do tempo . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Vamos aplicar essa identidade às nossas funções e .

Passo 4

Primeiro, isolamos as funções trigonométricas:
Agora, vamos elevar cada uma ao quadrado:

Passo 5

Somando as duas equações:
Pela identidade trigonométrica, sabemos que o lado esquerdo é igual a 1:

Passo 6

Essa equação final:
É a equação geral de uma elipse no plano , onde e são os semi-eixos nas direções e , respectivamente.

Resposta

A órbita da partícula é uma elipse com semi-eixos de comprimentos e nas direções e , respectivamente.

Exercícios de Livros Relacionados