A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
onde
e
são constantes. Descreva a órbita da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a posição de uma partícula em movimento como uma função do tempo:
Aqui,
,
e
são constantes. Nosso objetivo é descrever a trajetória (ou órbita) dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial e entender como as funções trigonométricas
e determinam o movimento no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as componentes da posição separadamente. A posição
tem duas partes:
- Na direção do eixo
: - Na direção do eixo
:
Essas funções nos dizem como a partícula se move ao longo de cada eixo ao longo do tempo.
Passo 3
Para entender a trajetória completa, queremos relacionar
e
sem depender do tempo
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Vamos aplicar essa identidade às nossas funções
e
.
Passo 4
Primeiro, isolamos as funções trigonométricas:
Agora, vamos elevar cada uma ao quadrado:
Passo 5
Somando as duas equações:
Pela identidade trigonométrica, sabemos que o lado esquerdo é igual a 1:
Passo 6
Essa equação final:
É a equação geral de uma elipse no plano
, onde
e
são os semi-eixos nas direções
e
, respectivamente.
Resposta
A órbita da partícula é uma elipse com semi-eixos de comprimentos
e
nas direções
e
, respectivamente.