Um paralelepípedo (um sólido de seis faces com as faces opostas paralelas) tem um vértice na origem e as três arestas que partem de definidas pelos vetores a, b, c. Mostre que o volume do paralelepípedo é .

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo vetores. Temos um paralelepípedo com um vértice na origem e suas três arestas definidas pelos vetores , e . Nosso objetivo é mostrar que o volume desse paralelepípedo é dado por . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo. É um sólido geométrico de seis faces, todas elas paralelogramos. No nosso caso, temos três vetores , e que definem as arestas que partem da origem . Esses vetores são fundamentais para determinar as dimensões e a orientação do paralelepípedo no espaço.

Passo 3

Para calcular o volume do paralelepípedo, precisamos descobrir quanto espaço ele ocupa no espaço tridimensional. O volume pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que definem o paralelepípedo. O produto misto é uma combinação do produto vetorial e do produto escalar.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto vetorial entre dois desses vetores, por exemplo, . O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores e , e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por e .

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor, . O produto escalar entre e nos dá um valor escalar que representa o volume do paralelepípedo. Esse valor pode ser positivo ou negativo, dependendo da orientação dos vetores, mas como o volume é uma grandeza positiva, tomamos o valor absoluto.

Passo 6

Portanto, juntando os passos anteriores, o volume do paralelepípedo é dado por:

Resposta

O volume do paralelepípedo é .

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