Um paralelepípedo (um sólido de seis faces com as faces opostas paralelas) tem um vértice na origem
e as três arestas que partem de
definidas pelos vetores a, b, c. Mostre que o volume do paralelepípedo é
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo vetores. Temos um paralelepípedo com um vértice na origem
e suas três arestas definidas pelos vetores
,
e
. Nosso objetivo é mostrar que o volume desse paralelepípedo é dado por
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo. É um sólido geométrico de seis faces, todas elas paralelogramos. No nosso caso, temos três vetores
,
e
que definem as arestas que partem da origem
. Esses vetores são fundamentais para determinar as dimensões e a orientação do paralelepípedo no espaço.
Passo 3
Para calcular o volume do paralelepípedo, precisamos descobrir quanto espaço ele ocupa no espaço tridimensional. O volume pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que definem o paralelepípedo. O produto misto é uma combinação do produto vetorial e do produto escalar.
Passo 4
Primeiro, calculamos o produto vetorial entre dois desses vetores, por exemplo,
. O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores
e
, e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor,
. O produto escalar entre
e
nos dá um valor escalar que representa o volume do paralelepípedo. Esse valor pode ser positivo ou negativo, dependendo da orientação dos vetores, mas como o volume é uma grandeza positiva, tomamos o valor absoluto.
Passo 6
Portanto, juntando os passos anteriores, o volume
do paralelepípedo é dado por:
Resposta
O volume do paralelepípedo é
.