Mostre que para quaisquer dois vetores a e b
[Sugestão: expanda
e compare o resultado com
.] Explique por que isso é chamado de desigualdade triangular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para quaisquer dois vetores a e b, a magnitude da soma deles é menor ou igual à soma das magnitudes individuais. Isso envolve o conceito de Desigualdade Triangular, que é fundamental em geometria e álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão
e compará-la com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor
é representada por
e, ao quadrado, temos
, onde
representa o produto escalar.
Passo 3
Agora, vamos expandir
:
Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Passo 5
Para mostrar que
, precisamos provar que:
Simplificando ambos os lados, obtemos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Sabemos que a desigualdade acima é sempre verdadeira devido ao Produto Escalar e à Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
Portanto,
sempre se sustenta.
Passo 7
Como todos os passos anteriores confirmam que
, podemos concluir que:
Isso confirma a Desigualdade Triangular, que nos diz que a soma das magnitudes de dois vetores é sempre maior ou igual à magnitude da soma desses vetores.
Resposta
Para quaisquer dois vetores a e b, temos que
. Isso é a famosa Desigualdade Triangular.