Mostre que para quaisquer dois vetores a e b
[Sugestão: expanda e compare o resultado com .] Explique por que isso é chamado de desigualdade triangular.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que, para quaisquer dois vetores a e b, a magnitude da soma deles é menor ou igual à soma das magnitudes individuais. Isso envolve o conceito de Desigualdade Triangular, que é fundamental em geometria e álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão e compará-la com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor é representada por e, ao quadrado, temos , onde representa o produto escalar.

Passo 3

Agora, vamos expandir :
Aplicando a propriedade distributiva do produto escalar:

Passo 4

Agora, vamos expandir :

Passo 5

Para mostrar que , precisamos provar que:
Simplificando ambos os lados, obtemos:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Sabemos que a desigualdade acima é sempre verdadeira devido ao Produto Escalar e à Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
Portanto, sempre se sustenta.

Passo 7

Como todos os passos anteriores confirmam que , podemos concluir que:
Isso confirma a Desigualdade Triangular, que nos diz que a soma das magnitudes de dois vetores é sempre maior ou igual à magnitude da soma desses vetores.

Resposta

Para quaisquer dois vetores a e b, temos que . Isso é a famosa Desigualdade Triangular.

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