A primeira lei de Newton pode ser expressa da forma: se um objeto está livre (não está sujeito a qualquer força), então ele se move com velocidade constante. Sabemos que isso é invariante sob a transformação Galileana. Mostre que ela é invariante sob a transformação de Lorentz. [Assuma que ela é verdade em um referencial inercial
e use a fórmula da adição de velocidades relativísticas para mostrar que ela é também verdade em qualquer outro
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a primeira lei de Newton, que diz que se não tem força agindo sobre um objeto, ele continua se movendo com velocidade constante. A gente já sabe que isso funciona direitinho quando mudamos de referencial usando a transformação galileana. Agora, o desafio é mostrar que essa lei também vale se a gente mudar de referencial usando a transformação de Lorentz, que é a mais adequada na teoria da relatividade. Para isso, vamos precisar entender como as velocidades se adicionam de forma relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a transformação de Lorentz. Diferente da galileana, que funciona bem para velocidades muito menores que a da luz, a transformação de Lorentz é necessária quando as velocidades estão próximas da velocidade da luz,
. Ela diz como coordenadas de espaço e tempo mudam entre dois referenciais que se movem a uma velocidade constante um em relação ao outro.
Passo 3
A gente vai usar a fórmula da adição de velocidades relativísticas. Suponha que no referencial original
, um objeto está se movendo com velocidade
. Agora, vamos considerar outro referencial
que está se movendo com velocidade
em relação a
. A velocidade
do objeto em
é dada por:
Passo 4
Como segundo passo, vamos analisar o caso específico onde o objeto está livre, ou seja, sem forças agindo sobre ele. Conforme a primeira lei de Newton, isso significa que
é constante em
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da adição de velocidades, queremos ver se
também é constante em
. Como
é constante (porque os referenciais são inerciais) e
é constante, o denominador da fórmula também será constante. Portanto,
será uma combinação de constantes, o que implica que
também é constante.
Passo 6
Isso mostra que, mesmo quando mudamos de referencial usando a transformação de Lorentz, se não tem força agindo sobre o objeto em
, ele também não terá forças em
e continuará com velocidade constante.
Resposta
Concluímos que a primeira lei de Newton é invariante sob a transformação de Lorentz. Ou seja, se um objeto está livre e se move com velocidade constante em um referencial inercial
, ele também se moverá com velocidade constante em qualquer outro referencial inercial
, mesmo quando consideramos os efeitos da relatividade.