Considere dois eventos que ocorrem na posições e e instantes e . Sejam e . Deduza a transformação de Lorentz para e , da mesma forma, para e , e deduza a transformação e . Observe que as diferenças e se transformam exatamente da mesma forma que e . Essa importante propriedade segue da linearidade da transformação de Lorentz.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois eventos que acontecem em posições e e nos instantes e . Queremos encontrar como essas posições e tempos mudam quando mudamos de um referencial para outro usando a transformação de Lorentz. Além disso, vamos analisar como as diferenças entre essas posições ( ) e tempos ( ) se transformam. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da transformação de Lorentz e a ideia de linearidade dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transformação de Lorentz para um referencial que se move com velocidade em relação ao outro ao longo do eixo x. As transformações são:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 3

Vamos aplicar essas transformações para os eventos e . Supondo que , temos:
Para o primeiro evento:
Para o segundo evento:

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças , , e similar para e . Fazendo as subtrações:

Passo 5

Perceba que as diferenças e têm a mesma forma da transformação de Lorentz aplicada a e . Isso mostra que as diferenças se transformam exatamente como as próprias coordenadas. Essa propriedade é consequência da linearidade da transformação de Lorentz, que permite distribuir a transformação para diferenças de posição e tempo.

Resposta

As transformações de Lorentz para as diferenças são:
Isso mostra que e se transformam da mesma forma que e , confirmando a linearidade da transformação de Lorentz.

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