Considere dois eventos que ocorrem na posições
e
e instantes
e
. Sejam
e
. Deduza a transformação de Lorentz para
e
, da mesma forma, para
e
, e deduza a transformação
e
. Observe que as diferenças
e
se transformam exatamente da mesma forma que
e
. Essa importante propriedade segue da linearidade da transformação de Lorentz.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois eventos que acontecem em posições
e
e nos instantes
e
. Queremos encontrar como essas posições e tempos mudam quando mudamos de um referencial para outro usando a transformação de Lorentz. Além disso, vamos analisar como as diferenças entre essas posições (
) e tempos (
) se transformam. Para isso, vamos precisar entender a fórmula da transformação de Lorentz e a ideia de linearidade dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da transformação de Lorentz para um referencial que se move com velocidade
em relação ao outro ao longo do eixo x. As transformações são:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Vamos aplicar essas transformações para os eventos
e
. Supondo que
, temos:
Para o primeiro evento:
Para o segundo evento:
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças
,
, e similar para
e
. Fazendo as subtrações:
Passo 5
Perceba que as diferenças
e
têm a mesma forma da transformação de Lorentz aplicada a
e
. Isso mostra que as diferenças se transformam exatamente como as próprias coordenadas. Essa propriedade é consequência da linearidade da transformação de Lorentz, que permite distribuir a transformação para diferenças de posição e tempo.
Resposta
As transformações de Lorentz para as diferenças são:
Isso mostra que
e
se transformam da mesma forma que
e
, confirmando a linearidade da transformação de Lorentz.