Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo? Use
para obter uma estimativa numérica para
. A grosso modo, isso representa a ‘fração de seu tempo que o elétron gasta dentro do núcleo’.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a probabilidade de encontrar um elétron dentro do núcleo de um átomo de hidrogênio no estado fundamental. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especificamente o modelo do átomo de Bohr. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda do elétron e calcular a probabilidade com base nas distâncias fornecidas: o tamanho do núcleo (
) e o raio de Bohr (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que no modelo do átomo de Bohr, o elétron não tem uma posição fixa, mas sim uma probabilidade de estar em diferentes regiões ao redor do núcleo. A função de onda para o estado fundamental do hidrogênio é dada por:
Aqui,
nos diz a amplitude da probabilidade de encontrar o elétron a uma distância
do núcleo.
Passo 3
A densidade de probabilidade é obtida elevando o valor absoluto da função de onda ao quadrado:
Essa expressão nos mostra quão provável é encontrar o elétron em uma pequena regi��o ao redor de
.
Passo 4
Para encontrar a probabilidade total de o elétron estar dentro do núcleo (isto é, a uma distância menor que
do centro), precisamos integrar essa densidade de probabilidade sobre o volume do núcleo. Em coordenadas esféricas, isso fica:
Aqui,
representa um elemento de volume esférico.
Passo 5
Vamos substituir
na integral:
Essa simplificação facilita o cálculo.
Passo 6
Como
é muito menor que
(
e
), podemos aproximar
, já que
é muito pequeno. Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos os valores dados:
Elevando ao cubo:
Multiplicando pelos coeficientes:
Resposta
A probabilidade
de que o elétron seja encontrado dentro do núcleo é aproximadamente
.