Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do hidrogênio seja encontrado dentro do núcleo? Use para obter uma estimativa numérica para . A grosso modo, isso representa a ‘fração de seu tempo que o elétron gasta dentro do núcleo’.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a probabilidade de encontrar um elétron dentro do núcleo de um átomo de hidrogênio no estado fundamental. A matéria aqui envolve mecânica quântica, especificamente o modelo do átomo de Bohr. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda do elétron e calcular a probabilidade com base nas distâncias fornecidas: o tamanho do núcleo ( ) e o raio de Bohr ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no modelo do átomo de Bohr, o elétron não tem uma posição fixa, mas sim uma probabilidade de estar em diferentes regiões ao redor do núcleo. A função de onda para o estado fundamental do hidrogênio é dada por:
Aqui, nos diz a amplitude da probabilidade de encontrar o elétron a uma distância do núcleo.

Passo 3

A densidade de probabilidade é obtida elevando o valor absoluto da função de onda ao quadrado:
Essa expressão nos mostra quão provável é encontrar o elétron em uma pequena regi��o ao redor de .

Passo 4

Para encontrar a probabilidade total de o elétron estar dentro do núcleo (isto é, a uma distância menor que do centro), precisamos integrar essa densidade de probabilidade sobre o volume do núcleo. Em coordenadas esféricas, isso fica:
Aqui, representa um elemento de volume esférico.

Passo 5

Vamos substituir na integral:
Essa simplificação facilita o cálculo.

Passo 6

Como é muito menor que ( e ), podemos aproximar , já que é muito pequeno. Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os valores dados:
Elevando ao cubo:
Multiplicando pelos coeficientes:

Resposta

A probabilidade de que o elétron seja encontrado dentro do núcleo é aproximadamente .

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