A função de onda no espaço de momento (independente do tempo) em três dimensões é definida pela generalização natural da Equação 3.54:
Qual é o valor esperado da energia cinética nesse estado? Expresse sua resposta como múltiplo de e verifique se ela é coerente com o teorema do virial (Equação 4.191).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta envolve encontrar o valor esperado da energia cinética para uma função de onda no espaço de momento em três dimensões. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como transformadas de Fourier e operadores de energia. Basicamente, vamos calcular a média da energia cinética nesse estado quântico específico e ver se está de acordo com o teorema do virial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( ) em mecânica quântica é dada pelo operador:
Onde é o operador momento e é a massa da partícula.

Passo 3

No espaço de momento, o operador momento simplesmente multiplica a função de onda. Então, a energia cinética esperada é:
Aqui, é o complexo conjugado de , mas como nossa função de onda é real, podemos simplificar para:

Passo 4

Sabemos que representa a densidade de probabilidade no espaço de momento. Agora, substituímos a expressão de dada no enunciado:
Para simplificar, vamos considerar que é normalizada, ou seja, .

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Esse cálculo pode ser complicado, mas sabemos que no espaço de momento, a energia cinética é diretamente proporcional a , e a média está relacionada com a energia cinética.

Passo 6

Na verdade, para funções de onda bem comportadas, temos a relação:
Mas como estamos no espaço de momento, isso se traduz em:
Onde é a média de na distribuição .

Passo 7

Assumindo que estamos lidando com um oscilador harmônico quântico, onde os níveis de energia são , o primeiro nível de energia seria .
No estado fundamental ( ), a energia cinética é igual à energia potencial, e cada uma contribui com metade da energia total.
Portanto:

Resposta

O valor esperado da energia cinética nesse estado é , e isso está de acordo com o teorema do virial.

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