A função de onda no espaço de momento (independente do tempo) em três dimensões é definida pela generalização natural da Equação 3.54:
Qual é o valor esperado da energia cinética nesse estado? Expresse sua resposta como múltiplo de e verifique se ela é coerente com o teorema do virial (Equação 4.191).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta envolve encontrar o valor esperado da energia cinética para uma função de onda no espaço de momento em três dimensões. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como transformadas de Fourier e operadores de energia. Basicamente, vamos calcular a média da energia cinética nesse estado quântico específico e ver se está de acordo com o teorema do virial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética () em mecânica quântica é dada pelo operador:
Onde é o operador momento e é a massa da partícula.
Passo 3
No espaço de momento, o operador momento simplesmente multiplica a função de onda. Então, a energia cinética esperada é:
Aqui, é o complexo conjugado de , mas como nossa função de onda é real, podemos simplificar para:
Passo 4
Sabemos que representa a densidade de probabilidade no espaço de momento. Agora, substituímos a expressão de dada no enunciado:
Para simplificar, vamos considerar que é normalizada, ou seja, .
Passo 5
Substituindo na expressão de :
Esse cálculo pode ser complicado, mas sabemos que no espaço de momento, a energia cinética é diretamente proporcional a , e a média está relacionada com a energia cinética.
Passo 6
Na verdade, para funções de onda bem comportadas, temos a relação:
Mas como estamos no espaço de momento, isso se traduz em:
Onde é a média de na distribuição .
Passo 7
Assumindo que estamos lidando com um oscilador harmônico quântico, onde os níveis de energia são , o primeiro nível de energia seria .
No estado fundamental (), a energia cinética é igual à energia potencial, e cada uma contribui com metade da energia total.
Portanto:
Resposta
O valor esperado da energia cinética nesse estado é , e isso está de acordo com o teorema do virial.
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.42d