Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento
de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para
para as oito situações a seguir: (a) Uma curva dada por
sobre um plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Cálculo das Variações onde precisamos encontrar a expressão para o comprimento de um pequeno segmento de uma curva, representado por
. No caso específico da situação (a), estamos lidando com uma curva dada por
em um plano. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva
. O comprimento de arco
entre dois pontos muito próximos na curva pode ser aproximado pela hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é
e o outro é
.
Passo 3
Matematicamente, isso fica assim:
Dividindo tudo por
e depois tomando o limite quando
tende a zero, temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, que representa a inclinação da curva.
Passo 4
Agora, organizando isso em uma tabela para a situação (a):
Situação | Expressão para
|
---|---|
(a) Uma curva dada por
|
|
Resposta
A expressão para
na situação (a) é: