Em muitos problemas no cálculo das variações, você precisa conhecer o comprimento de um pequeno segmento de uma curva sobre uma superfície, como na Expressão (6.1). Crie uma tabela mostrando as expressões apropriadas para para as oito situações a seguir: (a) Uma curva dada por sobre um plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Cálculo das Variações onde precisamos encontrar a expressão para o comprimento de um pequeno segmento de uma curva, representado por . No caso específico da situação (a), estamos lidando com uma curva dada por em um plano. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva . O comprimento de arco entre dois pontos muito próximos na curva pode ser aproximado pela hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um cateto é e o outro é .

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
Dividindo tudo por e depois tomando o limite quando tende a zero, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a , que representa a inclinação da curva.

Passo 4

Agora, organizando isso em uma tabela para a situação (a):
Situação Expressão para
(a) Uma curva dada por sobre um plano

Resposta

A expressão para na situação (a) é:

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