Mostre que o menor caminho entre dois pontos dados sobre o plano é uma reta, usando coordenadas polares no plano.
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem um problema que pede pra mostrar que o menor caminho entre dois pontos no plano é uma reta. Vamos usar coordenadas polares pra isso. Isso envolve conhecimentos de geometria, coordenadas polares e cálculo de distâncias. Vamos precisar entender como as coordenadas polares funcionam e como calcular a distância entre dois pontos nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo
.
Passo 3
Agora, para encontrar o caminho mais curto entre dois pontos, precisamos calcular a distância entre eles. A distância entre dois pontos
e
em coordenadas polares pode ser encontrada usando a fórmula da distância:
Passo 4
Vamos analisar essa fórmula. Perceba que a distância
depende unicamente de
,
e da diferença de ângulos
. Para minimizar essa distância, queremos que o termo
seja o maior possível.
Passo 5
O cosseno atinge seu valor máximo, que é 1, quando
ou seja, quando
. Isso significa que os dois pontos estão na mesma direção a partir da origem, formando uma linha reta.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da distância, temos:
Isso mostra que a distância mínima ocorre quando os pontos estão alinhados em uma reta passando pela origem.
Passo 7
Portanto, o caminho mais curto entre os dois pontos no plano é uma linha reta que passa pela origem, ou seja, uma reta.
Resposta
O menor caminho entre dois pontos dados no plano é uma reta que os une diretamente.