Mostre que o menor caminho entre dois pontos dados sobre o plano é uma reta, usando coordenadas polares no plano.

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem um problema que pede pra mostrar que o menor caminho entre dois pontos no plano é uma reta. Vamos usar coordenadas polares pra isso. Isso envolve conhecimentos de geometria, coordenadas polares e cálculo de distâncias. Vamos precisar entender como as coordenadas polares funcionam e como calcular a distância entre dois pontos nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo .

Passo 3

Agora, para encontrar o caminho mais curto entre dois pontos, precisamos calcular a distância entre eles. A distância entre dois pontos e em coordenadas polares pode ser encontrada usando a fórmula da distância:

Passo 4

Vamos analisar essa fórmula. Perceba que a distância depende unicamente de , e da diferença de ângulos . Para minimizar essa distância, queremos que o termo seja o maior possível.

Passo 5

O cosseno atinge seu valor máximo, que é 1, quando ou seja, quando . Isso significa que os dois pontos estão na mesma direção a partir da origem, formando uma linha reta.

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância, temos:
Isso mostra que a distância mínima ocorre quando os pontos estão alinhados em uma reta passando pela origem.

Passo 7

Portanto, o caminho mais curto entre os dois pontos no plano é uma linha reta que passa pela origem, ou seja, uma reta.

Resposta

O menor caminho entre dois pontos dados no plano é uma reta que os une diretamente.

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