Uma pulga está no ponto (A) em uma plataforma giratória horizontal, a 10,0 cm do centro. A plataforma está girando a
no sentido horário. A pulga salta diretamente para cima até uma altura de
. Quando decola, a pulga não se dá velocidade horizontal com relação à plataforma. Ela pousa no ponto (B) da plataforma giratória. Escolha a origem das coordenadas para estar no centro da plataforma giratória e o eixo positivo
que passa por (A) no momento da decolagem. Quando a posição original da pulga é
: (b) Ache a posição do ponto (B) quando a pulga pousa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. A gente tem uma pulga que está em uma plataforma que gira sobre um eixo. A pulga está a 10,0 cm do centro e a plataforma gira a 33,3 revoluções por minuto (rev/min) no sentido horário. A pulga então dá um salto direto para cima, alcançando uma altura de 5,00 cm, sem ganhar velocidade horizontal em relação à plataforma. Depois, ela aterrissa em outro ponto da plataforma, chamado ponto B. Nosso objetivo aqui é descobrir onde fica esse ponto B quando a pulga pousa. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular e referência em plataformas giratórias para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento da plataforma. A plataforma está girando a 33,3 rev/min. Vamos converter isso para radianos por segundo, que é a unidade padrão para a velocidade angular. Sabemos que 1 revolução é 2π radianos e que 1 minuto tem 60 segundos. Então:
Passo 3
Calculando isso:
Então, a velocidade angular da plataforma é aproximadamente 3,49 rad/s no sentido horário.
Passo 4
Agora, vamos analisar o salto da pulga. Quando a pulga salta, ela mantém a sua velocidade tangencial devido à inércia. Mas como a plataforma está girando, precisamos ver quanto tempo a pulga fica no ar para saber quanto a plataforma gira durante o salto.
Passo 5
Para encontrar o tempo que a pulga fica no ar, vamos usar a fórmula do movimento vertical. A pulga sobe a 5,00 cm (0,05 m) e depois desce de volta. A aceleração devida à gravidade é
.
A altura máxima é atingida quando a velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula:
Resolvendo para
:
Passo 6
O tempo para subir é:
E o tempo total no ar é o dobro, já que o tempo para descer é igual ao de subir:
Passo 7
Durante esse tempo de 0,20 s, a plataforma continua girando. Vamos calcular quanto ela gira nesse intervalo. Usamos a fórmula:
Isso significa que a plataforma gira aproximadamente 0,698 radianos no sentido horário enquanto a pulga está no ar.
Passo 8
Agora, vamos determinar a posição inicial da pulga em coordenadas. Inicialmente, a pulga está em
.
Quando a plataforma gira 0,698 radianos no sentido horário, a nova posição será:
Substituindo
rad:
Passo 9
Calculando os valores trigonométricos:
Então:
Resposta
A posição do ponto B quando a pulga pousa é aproximadamente
.