Reescreva a Equação 8.33 considerando que o sistema inicial seja constituído de dois corpos, um de massa , com velocidade , e o outro de massa , com velocidade em relação ao primeiro, e que o sistema final seja apenas um corpo de massa com velocidade . Mostre que a Equação 8.35 continua válida para o sistema com acréscimo de massa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema inicial composto por dois corpos:
  • Corpo 1: Massa e velocidade .
  • Corpo 2: Massa e velocidade em relação ao primeiro corpo.
Após uma interação, o sistema final se torna um único corpo com:
  • Massa total: .
  • Velocidade final: .
Nosso objetivo é reescrever a Equação 8.33 considerando essas condições e, em seguida, demonstrar que a Equação 8.35 continua válida mesmo com o acréscimo de massa. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Quantidade de Movimento (Momentum) e Conservação do Momentum.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é Quantidade de Movimento. A quantidade de movimento ( ) de um objeto é dada pelo produto da sua massa ( ) pela sua velocidade ( ):

Passo 3

No sistema inicial, temos dois corpos com quantidades de movimento diferentes. A quantidade de movimento total inicial ( ) é a soma das quantidades de movimento de cada corpo:

Passo 4

Após a interação, os dois corpos se unem formando um único corpo com massa e velocidade . A quantidade de movimento final ( ) é então:

Passo 5

Segundo a Conservação da Quantidade de Movimento, na ausência de forças externas, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante. Portanto, podemos igualar a :

Passo 6

Vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação da conservação:
Podemos cancelar de ambos os lados:
Fatorando :
Simplificando mais:
Dividindo ambos os lados por (já que ):

Resposta

Portanto, reescrevemos a Equação 8.33 considerando as massas e velocidades dadas, e mostramos que a Equação 8.35 continua válida mesmo com o acréscimo de massa no sistema, mantendo a Conservação da Quantidade de Movimento.

Exercícios de Livros Relacionados