Reescreva a Equação 8.33 considerando que o sistema inicial seja constituído de dois corpos, um de massa
, com velocidade
, e o outro de massa
, com velocidade
em relação ao primeiro, e que o sistema final seja apenas um corpo de massa
com velocidade
. Mostre que a Equação 8.35 continua válida para o sistema com acréscimo de massa.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema inicial composto por dois corpos:
- Corpo 1: Massa
e velocidade . - Corpo 2: Massa
e velocidade em relação ao primeiro corpo.
Após uma interação, o sistema final se torna um único corpo com:
- Massa total:
. - Velocidade final:
.
Nosso objetivo é reescrever a Equação 8.33 considerando essas condições e, em seguida, demonstrar que a Equação 8.35 continua válida mesmo com o acréscimo de massa. Para isso, vamos utilizar os conceitos de Quantidade de Movimento (Momentum) e Conservação do Momentum.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é Quantidade de Movimento. A quantidade de movimento (
) de um objeto é dada pelo produto da sua massa (
) pela sua velocidade (
):
Passo 3
No sistema inicial, temos dois corpos com quantidades de movimento diferentes. A quantidade de movimento total inicial (
) é a soma das quantidades de movimento de cada corpo:
Passo 4
Após a interação, os dois corpos se unem formando um único corpo com massa
e velocidade
. A quantidade de movimento final (
) é então:
Passo 5
Segundo a Conservação da Quantidade de Movimento, na ausência de forças externas, a quantidade de movimento total do sistema permanece constante. Portanto, podemos igualar
a
:
Passo 6
Vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação da conservação:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Fatorando
:
Simplificando mais:
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Resposta
Portanto, reescrevemos a Equação 8.33 considerando as massas e velocidades dadas, e mostramos que a Equação 8.35 continua válida mesmo com o acréscimo de massa no sistema, mantendo a Conservação da Quantidade de Movimento.