Resolvemos, por inspeção, a equação diferencial (2.29),
, para a velocidade de um objeto em queda através do ar - um caminho muito favorável de resolução de equações diferenciais. Entretanto, gostaríamos algumas vezes de um método mais sistemático e aqui apresentamos um. Reescreva a equação na forma “separada”
e integre ambos os lados do tempo de 0 a
para determinar
como uma função de
. Compare com (2.30)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve a velocidade de um objeto caindo através do ar. A equação é
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando um método mais sistemático, que envolve separar as variáveis e integrar ambos os lados. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis em uma equação diferencial e como integrar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma “separada”, ou seja, com todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro. A equação já está quase nessa forma, mas vamos organizar melhor:
Aqui, colocamos
e
de um lado e
do outro, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente vai integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
No lado esquerdo, temos uma integral que resulta no logaritmo, e no lado direito, uma integral simples de uma constante.
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial. Supondo que em
, a velocidade é
:
Substituindo de volta:
Agora, vamos resolver para
:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A velocidade
em função do tempo
é dada por:
Isso coincide com a equação (2.30), mostrando que o método sistemático deu o mesmo resultado que a resolução por inspeção.