Resolvemos, por inspeção, a equação diferencial (2.29), , para a velocidade de um objeto em queda através do ar - um caminho muito favorável de resolução de equações diferenciais. Entretanto, gostaríamos algumas vezes de um método mais sistemático e aqui apresentamos um. Reescreva a equação na forma “separada”
e integre ambos os lados do tempo de 0 a para determinar como uma função de . Compare com (2.30)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que descreve a velocidade de um objeto caindo através do ar. A equação é . Nosso objetivo é resolver essa equação usando um método mais sistemático, que envolve separar as variáveis e integrar ambos os lados. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis em uma equação diferencial e como integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma “separada”, ou seja, com todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro. A equação já está quase nessa forma, mas vamos organizar melhor:
Aqui, colocamos e de um lado e do outro, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente vai integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
No lado esquerdo, temos uma integral que resulta no logaritmo, e no lado direito, uma integral simples de uma constante.

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , usamos a condição inicial. Supondo que em , a velocidade é :
Substituindo de volta:
Agora, vamos resolver para :
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Finalmente, isolando :

Resposta

A velocidade em função do tempo é dada por:
Isso coincide com a equação (2.30), mostrando que o método sistemático deu o mesmo resultado que a resolução por inspeção.

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