O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável , o valor de em um ponto pode ser expresso como uma série infinita envolvendo e suas derivadas no ponto :
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de . (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento ou apenas para valores de menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de , quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação. (a) Determine a série de Taylor para . (b) Faça o mesmo para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre o Teorema de Taylor, que nos permite aproximar o valor de uma função em um ponto usando uma série infinita baseada nas derivadas da função naquele ponto. Hoje, vamos aplicar isso para encontrar as séries de Taylor de duas funções específicas: e . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e substituir na fórmula do teorema.

Passo 2

Parte (a): Determinar a série de Taylor para .
Primeiro, vamos focar na função . Queremos expressar essa função como uma série de Taylor em torno de . A fórmula geral do Teorema de Taylor é:
Então, vamos calcular as derivadas necessárias de em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
    Em :
  2. Segunda derivada:
    Em :
  3. Terceira derivada:
    Em :
  4. Quarta derivada:
    Em :
E assim por diante. Observamos que há um padrão nas derivadas.

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula de Taylor:
Sabemos que , então:
Simplificando os coeficientes:

Passo 5

Identificamos que a série de Taylor para é:

Passo 6

Parte (b): Determinar a série de Taylor para .
Agora, vamos encontrar a série de Taylor para em torno de .

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
    Em :
  2. Segunda derivada:
    Em :
  3. Terceira derivada:
    Em :
  4. Quarta derivada:
    Em :
E assim por diante. As derivadas se repetem a cada quatro termos.

Passo 8

Substituindo as derivadas na fórmula de Taylor:
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 9

Podemos expressar a série de Taylor para de forma geral:

Resposta

(a) A série de Taylor para é:
(b) A série de Taylor para é:

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