Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade ) deixada cair em glicerina (densidade e viscosidade a CNTP), a força dominante é o arrasto linear dado por (2.82) do Problema 2.2. (a) Determine o tempo característico e a velocidade limite . [Na determinação da última, você deve incluir a força de empuxo de Arquimedes. Isso apenas adiciona uma terceira força no lado direito da Equação (2.25).] Quanto tempo após ter sido largada a partir do repouso a bola terá alcançado da sua velocidade limite?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de que é solta em glicerina, que tem densidade de e viscosidade de nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP). A questão quer que a gente determine o tempo característico , a velocidade limite e o tempo que a bola leva para atingir 95% dessa velocidade limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força de arrasto, força de empuxo e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tempo característico . Esse tempo nos dá uma ideia de quanto tempo leva para a velocidade da bola se aproximar da velocidade limite. Para encontrá-lo, precisamos considerar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento da bola na glicerina.

Passo 3

A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração:
No caso da bola caindo na glicerina, as forças envolvidas são:
  1. Força peso ( ): devido à gravidade.
  2. Força de empuxo ( ): devido ao deslocamento da glicerina.
  3. Força de arrasto ( ): resistência da glicerina ao movimento da bola.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas forças.
Massa da bola ( ):
Primeiro, convertemos o diâmetro para o raio:
Volume da bola:
Massa:
ç
Força peso ( ):
Força de empuxo ( ):
Convertendo a densidade para kg/m³:
Então,
Força de arrasto ( ):
A força de arrasto linear é dada por:
Onde é o coeficiente de arrasto linear. Segundo a questão, usaremos a equação (2.82) do Problema 2.2, que geralmente é de forma para fluxo laminar (Lei de Stokes). Vamos assumir isso:
Convertendo a viscosidade para unidades consistentes:
Convertendo o raio para metros:
Então,

Passo 5

Agora, aplicando a segunda lei de Newton:
Quando a bola atinge a velocidade terminal ( ), a aceleração é zero, então:
Resolvendo para :
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o tempo característico . Esse tempo é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, queremos saber quanto tempo a bola leva para atingir 95% da sua velocidade limite. A velocidade em função do tempo para esse tipo de movimento é dada por:
Queremos que :
Cancelando dos dois lados:
Calculando:

Resposta

O tempo característico é aproximadamente , a velocidade limite é cerca de e a bola atinge 95% da sua velocidade limite após aproximadamente .

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