Para uma bola de aço (diâmetro 2 mm e densidade
) deixada cair em glicerina (densidade
e viscosidade
a CNTP), a força dominante é o arrasto linear dado por (2.82) do Problema 2.2. (a) Determine o tempo característico
e a velocidade limite
. [Na determinação da última, você deve incluir a força de empuxo de Arquimedes. Isso apenas adiciona uma terceira força no lado direito da Equação (2.25).] Quanto tempo após ter sido largada a partir do repouso a bola terá alcançado
da sua velocidade limite?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma bola de aço com diâmetro de 2 mm e densidade de
que é solta em glicerina, que tem densidade de
e viscosidade de
nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP). A questão quer que a gente determine o tempo característico
, a velocidade limite
e o tempo que a bola leva para atingir 95% dessa velocidade limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força de arrasto, força de empuxo e a segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o tempo característico
. Esse tempo nos dá uma ideia de quanto tempo leva para a velocidade da bola se aproximar da velocidade limite. Para encontrá-lo, precisamos considerar a segunda lei de Newton aplicada ao movimento da bola na glicerina.
Passo 3
A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa do objeto multiplicada pela sua aceleração:
No caso da bola caindo na glicerina, as forças envolvidas são:
- Força peso (
): devido à gravidade. - Força de empuxo (
): devido ao deslocamento da glicerina. - Força de arrasto (
): resistência da glicerina ao movimento da bola.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas forças.
Massa da bola (
):
Primeiro, convertemos o diâmetro para o raio:
Primeiro, convertemos o diâmetro para o raio:
Volume da bola:
Massa:
Força peso (
):
Força de empuxo (
):
Convertendo a densidade para kg/m³:
Então,
Força de arrasto (
):
A força de arrasto linear é dada por:
A força de arrasto linear é dada por:
Onde
é o coeficiente de arrasto linear. Segundo a questão, usaremos a equação (2.82) do Problema 2.2, que geralmente é de forma
para fluxo laminar (Lei de Stokes). Vamos assumir isso:
Convertendo a viscosidade para unidades consistentes:
Convertendo o raio para metros:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando a segunda lei de Newton:
Quando a bola atinge a velocidade terminal (
), a aceleração
é zero, então:
Resolvendo para
:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o tempo característico
. Esse tempo é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, queremos saber quanto tempo a bola leva para atingir 95% da sua velocidade limite. A velocidade em função do tempo para esse tipo de movimento é dada por:
Queremos que
:
Cancelando
dos dois lados:
Calculando:
Resposta
O tempo característico
é aproximadamente
, a velocidade limite
é cerca de
e a bola atinge 95% da sua velocidade limite após aproximadamente
.