Um revólver pode acertar estruturas em qualquer direção com a mesma velocidade . Ignorando a resistência do ar e usando coordenadas polares cilíndricas com o revólver na origem e medido verticalmente para cima, mostre que a arma pode atingir qualquer objeto dentro da superfície
Descreva essa superfície e comente suas dimensões.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um revólver que pode disparar uma bala com velocidade inicial constante em qualquer direção. Queremos, usando coordenadas polares cilíndricas (onde é a altura para cima e é a distância horizontal do ponto de origem), mostrar que a bala pode atingir qualquer objeto dentro da superfície dada por:
Vamos precisar usar conceitos de cinemática de projéteis e coordenadas cilíndricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o movimento de um projétil sem resistência do ar. A trajetória de uma bala disparada com velocidade inicial em um ângulo em relação à horizontal é dada por:
e a distância horizontal é:
Aqui, é o tempo, é a aceleração da gravidade, é a altura e é a distância horizontal.

Passo 3

Nosso objetivo é relacionar e para eliminar o tempo . A partir da equação de :
Substituímos esse valor de na equação de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para chegar na forma dada no enunciado. Notamos que a máxima altura á que a bala pode atingir ocorre quando , ou seja, quando :
á
Substituindo isso na equação anterior, obtemos:
Isso confirma a equação fornecida no enunciado.

Passo 5

Agora, vamos descrever a superfície dada por essa equação. A equação representa uma parábola invertida em coordenadas cilíndricas, onde diminui à medida que aumenta. Isso significa que a bala pode atingir qualquer ponto dentro dessa superfície parabólica.
As dimensões dessa superfície são determinadas pela máxima altura á e a distância máxima que a bala pode alcançar. Inicialmente, a bala pode atingir uma altura máxima de quando disparada verticalmente, e conforme aumenta , a altura diminui seguindo a parábola definida.

Resposta

A superfície descrita pela equação é uma parábola invertida em coordenadas cilíndricas. Isso significa que o revólver pode atingir qualquer objeto dentro dessa parábola, onde a máxima altura alcançada é e a altura diminui à medida que a distância horizontal aumenta. Assim, a arma pode atingir objetos até uma certa distância horizontal, variando sua altura conforme a distância.

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