Um revólver pode acertar estruturas em qualquer direção com a mesma velocidade
. Ignorando a resistência do ar e usando coordenadas polares cilíndricas com o revólver na origem e
medido verticalmente para cima, mostre que a arma pode atingir qualquer objeto dentro da superfície
Descreva essa superfície e comente suas dimensões.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um revólver que pode disparar uma bala com velocidade inicial constante
em qualquer direção. Queremos, usando coordenadas polares cilíndricas (onde
é a altura para cima e
é a distância horizontal do ponto de origem), mostrar que a bala pode atingir qualquer objeto dentro da superfície dada por:
Vamos precisar usar conceitos de cinemática de projéteis e coordenadas cilíndricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o movimento de um projétil sem resistência do ar. A trajetória de uma bala disparada com velocidade inicial
em um ângulo
em relação à horizontal é dada por:
e a distância horizontal
é:
Aqui,
é o tempo,
é a aceleração da gravidade,
é a altura e
é a distância horizontal.
Passo 3
Nosso objetivo é relacionar
e
para eliminar o tempo
. A partir da equação de
:
Substituímos esse valor de
na equação de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para chegar na forma dada no enunciado. Notamos que a máxima altura
que a bala pode atingir ocorre quando
, ou seja, quando
:
Substituindo isso na equação anterior, obtemos:
Isso confirma a equação fornecida no enunciado.
Passo 5
Agora, vamos descrever a superfície dada por essa equação. A equação representa uma parábola invertida em coordenadas cilíndricas, onde
diminui à medida que
aumenta. Isso significa que a bala pode atingir qualquer ponto dentro dessa superfície parabólica.
As dimensões dessa superfície são determinadas pela máxima altura
e a distância máxima
que a bala pode alcançar. Inicialmente, a bala pode atingir uma altura máxima de
quando disparada verticalmente, e conforme aumenta
, a altura
diminui seguindo a parábola definida.
Resposta
A superfície descrita pela equação
é uma parábola invertida em coordenadas cilíndricas. Isso significa que o revólver pode atingir qualquer objeto dentro dessa parábola, onde a máxima altura alcançada é
e a altura diminui à medida que a distância horizontal
aumenta. Assim, a arma pode atingir objetos até uma certa distância horizontal, variando sua altura conforme a distância.