Revisão. Uma placa de sinalização retangular, uniforme, fina, é pendurada verticalmente acima da porta de uma loja. Ela é articulada por dobradiças a uma haste horizontal fixa ao longo de sua borda superior. A massa da placa é
e sua dimensão vertical é
. Ela está balançando sem atrito, portanto, é um alvo tentador para as crianças armadas com bolas de neve. O deslocamento angular máximo da placa é
ambos os lados da vertical. No momento em que ela está na vertical e movendo-se para a esquerda, uma bola de neve de 400 g de massa, viajando horizontalmente com velocidade de
para a direita, bate perpendicularmente na sua extremidade inferior e fica grudada. Calcule sua velocidade angular imediatamente após o impacto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve dinâmica rotacional. A gente precisa calcular a velocidade angular de uma placa de sinalização após ela ser atingida e receber uma bola de neve. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos uma placa retangular pendurada que pode girar em torno de uma dobradiça. Uma bola de neve bate na extremidade inferior da placa e fica grudada nela. Queremos saber quão rápido a placa vai começar a girar depois desse impacto.
Passo 3
Pra resolver isso, vamos usar a conservação do momento angular. Essa lei diz que, se não tem torque externo agindo no sistema, o momento angular total antes do impacto é igual ao momento angular total depois do impacto. Matematicamente, é:
Passo 4
Primeiro, calculamos o momento angular inicial. Antes do impacto, a placa está na posição vertical e se movendo para a esquerda, mas no momento do impacto, a velocidade angular inicial da placa é zero. Então, o momento angular inicial vem apenas da bola de neve.
O momento angular
de um objeto é dado por:
onde:
-
é a massa, -
é a velocidade, -
é a distância do ponto de rotação.
Passo 5
Vamos aplicar isso à bola de neve:
- Massa da bola,
kg, - Velocidade,
m/s, - Distância da dobradiça até a extremidade da placa,
m.
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento de inércia total depois do impacto. A placa e a bola agora giram juntas. O momento de inércia total
é a soma do momento de inércia da placa
e o momento de inércia da bola
.
Para uma placa retangular que gira em torno de uma das suas bordas, o momento de inércia é:
E para a bola que fica a uma distância
da dobradiça:
Passo 7
Calculando cada momento de inércia:
- Massa da placa,
kg, - Altura da placa,
m,
- Massa da bola,
kg,
Então,
Passo 8
Agora, aplicamos a conservação do momento angular:
Onde
é a velocidade angular que queremos encontrar. Rearranjando a fórmula:
Resposta
A velocidade angular imediatamente após o impacto é aproximadamente 1,07 rad/s.