Seja um cordão de comprimento fixo com uma extremidade presa na origem e disposto no plano , com sua outra extremidade sobre o eixo , de tal forma que cubra a maior área entre o cordão e o eixo . Mostre que a forma obtida é um semicírculo. A área coberta é, naturalente, , mas mostre que você pode reescrever essa expressão da forma , onde denota a distância medida ao longo do cordão a partir da origem, onde e denota . Como não envolve explicitamente a variável independente , você pode explorar a “primeira integral” (6.43) do Problema 6.20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a gente tem um cordão de comprimento fixo , preso na origem e disposto no plano com a outra extremidade no eixo , a forma que maximiza a área entre o cordão e o eixo é um semicírculo. A matéria aqui envolve cálculo de variação e otimização de áreas. Vamos precisar usar integrais e um pouco de geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área coberta entre o cordão e o eixo pode ser calculada pela integral . Isso significa que estamos somando infinitos retângulos de altura e largura ao longo do eixo para encontrar a área total.

Passo 3

Agora, queremos reescrever essa integral de uma forma diferente: , onde é a distância medida ao longo do cordão desde a origem, e , com . Aqui, estamos mudando a variável de integração de para , o que vai ajudar na otimização.

Passo 4

Para fazer essa mudança de variável, precisamos relacionar com . Sabemos que, ao longo do cordão, temos que . Dividindo os dois lados por , temos . Mas queremos a expressão em termos de , então rearranjamos para encontrar em função de .

Passo 5

Vamos definir . Então, . Substituindo na expressão de , temos . Rearranjando, obtemos .

Passo 6

Agora, substituímos na integral da área: . Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por , o que nos dá . Note que o denominador simplifica para 1, então fica .

Passo 7

Perfeito, agora temos a área expressa como . Contudo, queremos chegar em , onde . Para isso, notamos que se queremos maximizar a área, devemos derivar essa expressão em relação a variações de e encontrar uma condição que satisfaça a maximização.

Passo 8

Usando o método da primeira variação, e sabendo que não depende explicitamente de , podemos aplicar a primeira integral da equação de Euler-Lagrange (referenciada como “primeira integral” do Problema 6.20). Isso nos leva a uma condição que a função deve satisfazer para maximizar a área.

Passo 9

Depois de aplicar essa condição, descobrimos que a solução que satisfaz a equação é uma função circular. Ou seja, a forma que maximiza a área é parte de uma circunferência. Como estamos considerando apenas a parte do cordão acima do eixo , essa parte é um semicírculo.

Resposta

Portanto, a forma obtida que maximiza a área entre o cordão e o eixo é um semicírculo.

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