Seja um cordão de comprimento fixo
com uma extremidade presa na origem
e disposto no plano
, com sua outra extremidade sobre o eixo
, de tal forma que cubra a maior área entre o cordão e o eixo
. Mostre que a forma obtida é um semicírculo. A área coberta é, naturalente,
, mas mostre que você pode reescrever essa expressão da forma
, onde
denota a distância medida ao longo do cordão a partir da origem, onde
e
denota
. Como
não envolve explicitamente a variável independente
, você pode explorar a “primeira integral” (6.43) do Problema 6.20.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a gente tem um cordão de comprimento fixo
, preso na origem
e disposto no plano
com a outra extremidade no eixo
, a forma que maximiza a área entre o cordão e o eixo
é um semicírculo. A matéria aqui envolve cálculo de variação e otimização de áreas. Vamos precisar usar integrais e um pouco de geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área coberta entre o cordão e o eixo
pode ser calculada pela integral
. Isso significa que estamos somando infinitos retângulos de altura
e largura
ao longo do eixo
para encontrar a área total.
Passo 3
Agora, queremos reescrever essa integral de uma forma diferente:
, onde
é a distância medida ao longo do cordão desde a origem, e
, com
. Aqui, estamos mudando a variável de integração de
para
, o que vai ajudar na otimização.
Passo 4
Para fazer essa mudança de variável, precisamos relacionar
com
. Sabemos que, ao longo do cordão, temos que
. Dividindo os dois lados por
, temos
. Mas queremos a expressão em termos de
, então rearranjamos para encontrar
em função de
.
Passo 5
Vamos definir
. Então,
. Substituindo na expressão de
, temos
. Rearranjando, obtemos
.
Passo 6
Agora, substituímos
na integral da área:
. Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
, o que nos dá . Note que o denominador simplifica para 1, então fica
.
Passo 7
Perfeito, agora temos a área expressa como
. Contudo, queremos chegar em
, onde
. Para isso, notamos que se queremos maximizar a área, devemos derivar essa expressão em relação a variações de
e encontrar uma condição que satisfaça a maximização.
Passo 8
Usando o método da primeira variação, e sabendo que
não depende explicitamente de
, podemos aplicar a primeira integral da equação de Euler-Lagrange (referenciada como “primeira integral” do Problema 6.20). Isso nos leva a uma condição que a função
deve satisfazer para maximizar a área.
Passo 9
Depois de aplicar essa condição, descobrimos que a solução que satisfaz a equação é uma função circular. Ou seja, a forma que maximiza a área é parte de uma circunferência. Como estamos considerando apenas a parte do cordão acima do eixo
, essa parte é um semicírculo.
Resposta
Portanto, a forma obtida que maximiza a área entre o cordão e o eixo
é um semicírculo.