Suponha que você tivesse três partículas (não interativas), em equilíbrio térmico, em um potencial do oscilador harmônico unidimensional, com a energia total
. (a) Se elas forem partículas distinguíveis (porém, todas com a mesma massa), quais as possíveis configurações de número de ocupação, e quantos estados distintos (de três partículas) há para cada um? Qual é a configuração mais provável? Se você escolher uma partícula aleatoriamente e medir a sua energia, quais valores você poderá obter e qual será a probabilidade de cada uma? Qual será a energia mais provável?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partículas que não interagem entre si, estão em equilíbrio térmico e confinadas em um potencial de oscilador harmônico unidimensional. A energia total do sistema é
.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em um potencial de oscilador harmônico e estatísticas para partículas distinguíveis.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento sobre os níveis de energia do oscilador harmônico quântico.
- Entender como distribuir a energia total entre as partículas distinguíveis.
- Calcular a multiplicidade das configurações e probabilidades associadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico unidimensional. A energia de cada partícula é dada por:
onde
é um número inteiro não negativo (
).
Como temos três partículas, a energia total do sistema é a soma das energias de cada partícula. Dado que a energia total é
, vamos expressar isso em termos dos números quânticos
das três partículas:
Isolando a soma dos números quânticos:
Então, precisamos encontrar todas as combinações de
que somam 3.
Passo 3
Vamos listar todas as possíveis configurações de números quânticos
que satisfazem
. Como as partículas são distinguíveis, a ordem importa, ou seja,
é diferente de
.
As combinações possíveis são:
Passo 4
Agora, vamos agrupar essas combinações em “configurações” baseadas em como a energia está distribuída, independentemente da ordem. Por exemplo,
,
e
representam a mesma distribuição de energia, apenas com as partículas em posições diferentes.
As possíveis configurações são:
-
Configuração 1:
— duas partículas no nível e uma no .
Quantidade de estados: 3 (cada partícula pode ser a que está no). -
Configuração 2:
— uma partícula no , uma no e uma no .
Quantidade de estados: 6 (todos os arranjos possíveis). -
Configuração 3:
— todas as partículas no .
Quantidade de estados: 1 (apenas uma maneira de fazer isso).
Então, temos 3 configurações diferentes com seus respectivos números de estados.
Passo 5
Para descobrir qual é a configuração mais provável, olhamos para qual configuração tem o maior número de estados.
- Configuração 1 tem 3 estados.
- Configuração 2 tem 6 estados.
- Configuração 3 tem 1 estado.
Portanto, a configuração mais provável é a Configuração 2 (
) com 6 estados diferentes.
Passo 6
Agora, vamos determinar os possíveis valores de energia que uma partícula pode ter e a probabilidade de cada um ao medirmos uma partícula aleatoriamente.
Os níveis de energia possíveis para cada part��cula são dados por
, então os valores possíveis são:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Vamos contar quantas vezes cada energia aparece nas configurações:
-
Configuração 1 (
): -
aparece 2 vezes. -
aparece 1 vez.
-
-
Configuração 2 (
): -
aparece 1 vez. -
aparece 1 vez. -
aparece 1 vez.
-
-
Configuração 3 (
): -
aparece 3 vezes.
-
Agora, somando todas as ocorrências:
- Total de estados:
- Total de partículas:
partículas por estado × estados = partículas contadas.
Contagem das energias:
-
: ocorrências (nas 3 configurações da primeira configuração). -
: ocorrências. -
: ocorrências. -
: ocorrências.
Passo 7
Vamos calcular a probabilidade de medir cada nível de energia:
Calculando:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Finalmente, para identificar qual é a energia mais provável, observamos qual tem a maior probabilidade.
-
: 20% -
: 30% -
: 20% -
: 10%
A energia mais provável é
, com 30% de probabilidade.
Resposta
As possíveis configurações de ocupação são:
- Duas partículas no nível
e uma no — 3 estados. - Uma partícula em
, uma em e uma em — 6 estados. - Todas as três partículas no nível
— 1 estado.
A configuração mais provável é a segunda, com 6 estados. Ao medir a energia de uma partícula aleatoriamente, os valores possíveis são
(20%),
(30%),
(20%) e
(10%). A energia mais provável é
.