Suponha que você tivesse três partículas (não interativas), em equilíbrio térmico, em um potencial do oscilador harmônico unidimensional, com a energia total . (a) Se elas forem partículas distinguíveis (porém, todas com a mesma massa), quais as possíveis configurações de número de ocupação, e quantos estados distintos (de três partículas) há para cada um? Qual é a configuração mais provável? Se você escolher uma partícula aleatoriamente e medir a sua energia, quais valores você poderá obter e qual será a probabilidade de cada uma? Qual será a energia mais provável?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partículas que não interagem entre si, estão em equilíbrio térmico e confinadas em um potencial de oscilador harmônico unidimensional. A energia total do sistema é .
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em um potencial de oscilador harmônico e estatísticas para partículas distinguíveis.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento sobre os níveis de energia do oscilador harmônico quântico.
  • Entender como distribuir a energia total entre as partículas distinguíveis.
  • Calcular a multiplicidade das configurações e probabilidades associadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico unidimensional. A energia de cada partícula é dada por:
onde é um número inteiro não negativo ( ).
Como temos três partículas, a energia total do sistema é a soma das energias de cada partícula. Dado que a energia total é , vamos expressar isso em termos dos números quânticos das três partículas:
Isolando a soma dos números quânticos:
Então, precisamos encontrar todas as combinações de que somam 3.

Passo 3

Vamos listar todas as possíveis configurações de números quânticos que satisfazem . Como as partículas são distinguíveis, a ordem importa, ou seja, é diferente de .
As combinações possíveis são:

Passo 4

Agora, vamos agrupar essas combinações em “configurações” baseadas em como a energia está distribuída, independentemente da ordem. Por exemplo, , e representam a mesma distribuição de energia, apenas com as partículas em posições diferentes.
As possíveis configurações são:
  1. Configuração 1: — duas partículas no nível e uma no .
    Quantidade de estados: 3 (cada partícula pode ser a que está no ).
  2. Configuração 2: — uma partícula no , uma no e uma no .
    Quantidade de estados: 6 (todos os arranjos possíveis).
  3. Configuração 3: — todas as partículas no .
    Quantidade de estados: 1 (apenas uma maneira de fazer isso).
Então, temos 3 configurações diferentes com seus respectivos números de estados.

Passo 5

Para descobrir qual é a configuração mais provável, olhamos para qual configuração tem o maior número de estados.
  • Configuração 1 tem 3 estados.
  • Configuração 2 tem 6 estados.
  • Configuração 3 tem 1 estado.
Portanto, a configuração mais provável é a Configuração 2 ( ) com 6 estados diferentes.

Passo 6

Agora, vamos determinar os possíveis valores de energia que uma partícula pode ter e a probabilidade de cada um ao medirmos uma partícula aleatoriamente.
Os níveis de energia possíveis para cada part��cula são dados por , então os valores possíveis são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vamos contar quantas vezes cada energia aparece nas configurações:
  1. Configuração 1 ( ):
    • aparece 2 vezes.
    • aparece 1 vez.
  2. Configuração 2 ( ):
    • aparece 1 vez.
    • aparece 1 vez.
    • aparece 1 vez.
  3. Configuração 3 ( ):
    • aparece 3 vezes.
Agora, somando todas as ocorrências:
  • Total de estados:
  • Total de partículas: partículas por estado × estados = partículas contadas.
Contagem das energias:
  • : ocorrências (nas 3 configurações da primeira configuração).
  • : ocorrências.
  • : ocorrências.
  • : ocorrências.

Passo 7

Vamos calcular a probabilidade de medir cada nível de energia:
úêêúí
Calculando:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Finalmente, para identificar qual é a energia mais provável, observamos qual tem a maior probabilidade.
  • : 20%
  • : 30%
  • : 20%
  • : 10%
A energia mais provável é , com 30% de probabilidade.

Resposta

As possíveis configurações de ocupação são:
  1. Duas partículas no nível e uma no — 3 estados.
  2. Uma partícula em , uma em e uma em — 6 estados.
  3. Todas as três partículas no nível — 1 estado.
A configuração mais provável é a segunda, com 6 estados. Ao medir a energia de uma partícula aleatoriamente, os valores possíveis são (20%), (30%), (20%) e (10%). A energia mais provável é .

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