Considere o oscilador harmônico tridimensional para o qual o potencial é
Demonstre que a separação de variáveis em coordenadas cartesianas transforma isso em três osciladores unidimensionais e explore seu conhecimento do último para determinar as energias permitidas. Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o oscilador harmônico tridimensional com o potencial
. A gente precisa mostrar que, usando coordenadas cartesianas, esse problema se divide em três osciladores unidimensionais. Depois, vamos usar isso para encontrar as energias permitidas desse sistema. Para resolver, vamos precisar entender como separar variáveis em física e como funciona o oscilador harmônico na 1D.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em três dimensões, a posição
pode ser descrita pelas coordenadas
,
e
. O potencial dado é:
Isso significa que o potencial depende de
,
e
de forma separada e simétrica.
Passo 3
Agora, a ideia é separar as equações do movimento nas três direções. Isso é possível porque o potencial é a soma de potenciais em cada direção. Ou seja, podemos escrever:
Cada termo aqui representa um oscilador harmônico unidimensional nas direções
,
e
.
Passo 4
Sabendo disso, vamos lembrar que a energia de um oscilador harmônico na 1D é dada por:
onde
Passo 5
Como temos três osciladores independentes, a energia total do sistema será a soma das energias nas três direções:
Passo 6
Simplificando a expressão acima:
Podemos definir
, que é a soma dos números quânticos nas três direções.