Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial [ou ocasionalmente . Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. Mostre que as equaçães de Hamilton são equivalentes à equação familiar da força de Lorentz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre as equações de Hamilton e como elas se relacionam com a força de Lorentz, que é a força que atua sobre uma partícula carregada num campo elétrico e magnético. O conteúdo aqui é da Mecânica Hamiltoniana, e para resolver vamos precisar entender as equações de Hamilton e como aplicá-las a uma partícula carregada no campo eletromagnético.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a função Hamiltoniana para uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A Hamiltoniana é dada por:
Aqui, é a massa da partícula, é a carga, é o momento canônico, é o potencial vetor, e é o potencial escalar. Essa expressão leva em conta a interação da carga com os campos elétrico e magnético .

Passo 3

Agora, vamos lembrar das equações de Hamilton. Elas dizem que:
Essas equações nos dizem como as coordenadas e o momento evoluem no tempo.

Passo 4

Vamos calcular :
Então,
Agora, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda equação de Hamilton:
Substituindo :
Sabemos que . Substituindo isso na equação anterior e rearranjando os termos, eventualmente chegamos à força de Lorentz:

Resposta

As equações de Hamilton, quando aplicadas a uma partícula carregada em um campo eletromagnético, levam diretamente à força de Lorentz , mostrando que ambas as formulações são equivalentes.

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