Todos os exemplos deste capítulo e todos os problemas (exceto este) tratam com forças que derivam de uma energia potencial
[ou ocasionalmente
. Entretanto, a demonstração das equações de Hamilton dada na Seção 13.3 se aplica para qualquer sistema para o qual as equações de Lagrange são válidas e isso pode incluir forças que não são obtidas de uma energia potencial. Um exemplo importante de tais forças é a força magnética sobre uma partícula carregada. Mostre que as equaçães de Hamilton são equivalentes à equação familiar da força de Lorentz
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre as equações de Hamilton e como elas se relacionam com a força de Lorentz, que é a força que atua sobre uma partícula carregada num campo elétrico e magnético. O conteúdo aqui é da Mecânica Hamiltoniana, e para resolver vamos precisar entender as equações de Hamilton e como aplicá-las a uma partícula carregada no campo eletromagnético.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a função Hamiltoniana para uma partícula carregada em um campo eletromagnético. A Hamiltoniana
é dada por:
Aqui,
é a massa da partícula,
é a carga,
é o momento canônico,
é o potencial vetor, e
é o potencial escalar. Essa expressão leva em conta a interação da carga
com os campos elétrico
e magnético
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das equações de Hamilton. Elas dizem que:
Essas equações nos dizem como as coordenadas
e o momento
evoluem no tempo.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda equação de Hamilton:
Substituindo
:
Sabemos que
. Substituindo isso na equação anterior e rearranjando os termos, eventualmente chegamos à força de Lorentz:
Resposta
As equações de Hamilton, quando aplicadas a uma partícula carregada em um campo eletromagnético, levam diretamente à força de Lorentz
, mostrando que ambas as formulações são equivalentes.