Estabeleça a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa
, movendo-se em um plano vertical e sujeito a gravidade, mas sem considerar a resistência do
ar. Use as coordenadas generalizadas
, medindo horizontalmente,
, medindo verticalmente para cima. Comente cada uma das quatro equações de movimento.
ar. Use as coordenadas generalizadas
Passo 1
Então, o que a gente vai fazer aqui é montar a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa
que está se movendo num plano vertical, sujeito apenas à gravidade e sem resistência do ar. Para isso, vamos usar as coordenadas
(horizontal) e
(vertical para cima). A gente vai precisar lembrar como calcular a energia cinética e potencial, e depois usar essas energias para formular a Hamiltoniana. Depois, vamos aplicar as equações de Hamilton para encontrar as equações de movimento e comentar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas e os momentos associados. Temos duas coordenadas
e
. Os momentos generalizados correspondentes são definidos pelas derivadas da energia cinética em relação às velocidades:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
do projétil. Como o movimento está no plano, a energia cinética é a soma das energias cinéticas nas direções
e
:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a energia potencial
. Como o único campo de força é a gravidade, a energia potencial é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
A Hamiltoniana
é definida como a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial, expressa em termos dos momentos generalizados:
Como o Lagrangiano
, substituindo, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as equações de Hamilton, que são:
Para
e
, temos quatro equações:
-
-
-
(não há força horizontal) -
(força da gravidade)
Isso nos dá as equações de movimento para o projétil.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é:
E as equações de Hamilton são:
Essas equações descrevem o movimento do projétil, onde as duas primeiras representam as velocidades nas direções
e
, e as duas últimas mostram que não há força horizontal e que a força vertical é constante devido à gravidade.