Estabeleça a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa , movendo-se em um plano vertical e sujeito a gravidade, mas sem considerar a resistência do
ar. Use as coordenadas generalizadas , medindo horizontalmente, , medindo verticalmente para cima. Comente cada uma das quatro equações de movimento.

Passo 1

Então, o que a gente vai fazer aqui é montar a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa que está se movendo num plano vertical, sujeito apenas à gravidade e sem resistência do ar. Para isso, vamos usar as coordenadas (horizontal) e (vertical para cima). A gente vai precisar lembrar como calcular a energia cinética e potencial, e depois usar essas energias para formular a Hamiltoniana. Depois, vamos aplicar as equações de Hamilton para encontrar as equações de movimento e comentar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas e os momentos associados. Temos duas coordenadas e . Os momentos generalizados correspondentes são definidos pelas derivadas da energia cinética em relação às velocidades:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do projétil. Como o movimento está no plano, a energia cinética é a soma das energias cinéticas nas direções e :

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a energia potencial . Como o único campo de força é a gravidade, a energia potencial é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

A Hamiltoniana é definida como a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial, expressa em termos dos momentos generalizados:
Como o Lagrangiano , substituindo, temos:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as equações de Hamilton, que são:
Para e , temos quatro equações:
  1. (não há força horizontal)
  2. (força da gravidade)
Isso nos dá as equações de movimento para o projétil.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
E as equações de Hamilton são:
Essas equações descrevem o movimento do projétil, onde as duas primeiras representam as velocidades nas direções e , e as duas últimas mostram que não há força horizontal e que a força vertical é constante devido à gravidade.

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