*51. Ao se usar qualquer método de datação radioativa, um erro experimental na medição da atividade da amostra leva a um erro na idade estimada. Em uma aplicação da técnica de datação por carbono radioativo a certos fósseis, uma atividade de 0,100 \mathrm{~Bq} por grama de carbono é medida com uma acurácia de \pm 10,0 \%. Ache a idade dos fósseis e o erro máximo (em anos) no valor obtido. Suponha que não haja nenhum erro na meia-vida de 5730 anos do { }_{6}^{14} \mathrm{C} nem no valor de 0,23 \mathrm{~Bq} por grama de carbono em um organismo vivo.

Passo 1

O enunciado pede a idade t de fósseis pela decação de {}^{14}\mathrm{C} e o erro máximo em anos, sabendo que a atividade inicial em um ser vivo é A_0=0,23 Bq/g, a atividade medida é A=0,100 Bq/g com incerteza de \pm10\,\%, e a meia-vida é T_{1/2}=5730 anos. Vamos usar a lei do decaimento exponencial.

Passo 2

A constante de decaimento \lambda está relacionada à meia-vida por
\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{5730\\ \text{anos}}.

Passo 3

Da lei do decaimento,
A = A_0\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\Bigl(\frac{A_0}{A}\Bigr).
Substituindo A_0=0,23 Bq/g e A=0,100 Bq/g:
\ln\!\Bigl(\tfrac{0,23}{0,10}\Bigr)=\ln(2,3)\approx0,8329, \qquad \frac{1}{\lambda}=\frac{T_{1/2}}{\ln(2)}\approx\frac{5730}{0,6931}\approx8267\\ \text{anos}.
Logo,
t \approx 8267\times0,8329 \approx 6890\\ \text{anos}.

Passo 4

O erro em t vem só da incerteza em A. Como
t(A)=\frac{1}{\lambda}\ln\!\Bigl(\frac{A_0}{A}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dt}{dA}=-\frac{1}{\lambda\,A},
o desvio máximo é
\Delta t = \Bigl|\frac{dt}{dA}\Bigr|\Delta A = \frac{1}{\lambda}\,\frac{\Delta A}{A} = \frac{1}{\lambda}\,(0,10)=0,10\times\frac{5730}{\ln(2)}\approx827\\ \text{anos}.

Passo 5

Portanto, a idade estimada é cerca de 6890 anos, com erro máximo de aproximadamente 830 anos.

Resposta

Idade t\approx6890 anos, com erro máximo \Delta t\approx830 anos.

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