Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: A direção do em qualquer ponto é a direção em que cresce mais rapidamente quando nos afastamos de . (Escolha um pequeno deslocamento , onde é um vetor unitário e fixo e pequeno. Determine a direção de u para a qual o correspondente é máximo, tendo em mente que .)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a direção do gradiente de uma função em qualquer ponto , denotada por , é a direção na qual cresce mais rapidamente quando nos afastamos de . Para isso, vamos usar a propriedade do gradiente e analisar como uma pequena mudança na posição afeta o valor da função.

Passo 2

Vamos considerar um pequeno deslocamento na posição dado por , onde é um valor pequeno e fixo, e é um vetor unitário (ou seja, ). A mudança no valor da função, , pode ser aproximada pelo produto escalar entre o gradiente e o deslocamento:
Aqui, o símbolo representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Substituindo na expressão de , temos:
Isso simplifica para:
Esse passo mostra como a pequena mudança na posição influencia a mudança no valor da função.

Passo 4

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e . Aplicando isso ao nosso caso:
Como é um vetor unitário, . Então:

Passo 5

Queremos que seja máximo. Observando a expressão , percebemos que o máximo valor de ocorre quando graus, ou seja, quando está na mesma direção que . Nesse caso, , então:
á

Passo 6

Concluímos que para ser máximo, o vetor deve estar na direção do gradiente . Portanto, a direção do gradiente é exatamente a direção na qual a função cresce mais rapidamente quando nos afastamos do ponto .

Resposta

A dire��ão do gradiente em qualquer ponto é a direção na qual a função cresce mais rapidamente quando nos afastamos de .

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