Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: A direção do
em qualquer ponto
é a direção em que
cresce mais rapidamente quando nos afastamos de
. (Escolha um pequeno deslocamento
, onde
é um vetor unitário e
fixo e pequeno. Determine a direção de u para a qual o
correspondente é máximo, tendo em mente que
.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que a direção do gradiente de uma função
em qualquer ponto
, denotada por
, é a direção na qual
cresce mais rapidamente quando nos afastamos de
. Para isso, vamos usar a propriedade do gradiente e analisar como uma pequena mudança na posição afeta o valor da função.
Passo 2
Vamos considerar um pequeno deslocamento na posição dado por
, onde
é um valor pequeno e fixo, e
é um vetor unitário (ou seja,
). A mudança no valor da função,
, pode ser aproximada pelo produto escalar entre o gradiente e o deslocamento:
Aqui, o símbolo
representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Substituindo
na expressão de
, temos:
Isso simplifica para:
Esse passo mostra como a pequena mudança na posição influencia a mudança no valor da função.
Passo 4
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
. Aplicando isso ao nosso caso:
Como
é um vetor unitário,
. Então:
Passo 5
Queremos que
seja máximo. Observando a expressão
, percebemos que o máximo valor de
ocorre quando
graus, ou seja, quando
está na mesma direção que
. Nesse caso,
, então:
Passo 6
Concluímos que para
ser máximo, o vetor
deve estar na direção do gradiente
. Portanto, a direção do gradiente é exatamente a direção na qual a função
cresce mais rapidamente quando nos afastamos do ponto
.
Resposta
A dire��ão do gradiente
em qualquer ponto
é a direção na qual a função
cresce mais rapidamente quando nos afastamos de
.