Determine as derivadas parciais com respeito a
e
das seguintes funções: (a)
,
, onde
e
são constantes. Lembre-se de que, para calcular
, você deriva com respeito a
mantendo
e
constantes.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que temos é
, onde
,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, lembramos que ao calcular
, por exemplo, tratamos
e
como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, mantendo
e
fixos.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante. - Derivada de
em relação a é , já que não há neste termo.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, derivamos
em relação a
, mantendo
e
constantes.
Derivando termo a termo em relação a
:
- Derivada de
em relação a é , já que não há neste termo. - Derivada de
em relação a é , pois é tratado como constante. - Derivada de
em relação a é .
Assim:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Neste caso, derivamos
em relação a
, mantendo
e
constantes.
Observando a função:
Perceba que não há nenhum termo que contenha
. Portanto, quando derivamos em relação a
, todos os termos desaparecem, resultando em zero.
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são: