Considere uma massa
presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade
e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal
. Se considerarmos a origem na posição de equilíbrio da mola, a energia potencial é
. No instante
a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo
e, a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. Escreva a equação para a conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade
da massa em termos da posição
e da energia total
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma massa
ligada a uma mola com constante de elasticidade
, se movendo horizontalmente ao longo do eixo
. A gente sabe que a energia potencial dessa mola é dada por
. No instante inicial (
), a massa está parada na origem, mas recebe um empurrão para a direita, alcançando um deslocamento máximo
. A partir daí, a massa começa a oscilar ao redor da origem. Nosso objetivo é escrever a equação de conservação da energia e resolver para encontrar a velocidade
da massa em termos da posição
e da energia total
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
em um sistema conservativo (como essa mola) é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). A energia cinética é dada por
, onde
é a velocidade da massa. A energia potencial, como mencionado, é
.
Então, a equação de conservação da energia fica:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a velocidade
em termos de
e
. Para isso, vamos isolar
na equação. Começamos subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, para isolar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Simplificando:
Passo 5
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 6
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade da massa em termos da posição
e da energia total
é: