Considere uma massa presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal . Se considerarmos a origem na posição de equilíbrio da mola, a energia potencial é . No instante a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo á e, a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. Escreva a equação para a conservação da energia e resolva-a para obter a velocidade da massa em termos da posição e da energia total .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma massa ligada a uma mola com constante de elasticidade , se movendo horizontalmente ao longo do eixo . A gente sabe que a energia potencial dessa mola é dada por . No instante inicial ( ), a massa está parada na origem, mas recebe um empurrão para a direita, alcançando um deslocamento máximo á. A partir daí, a massa começa a oscilar ao redor da origem. Nosso objetivo é escrever a equação de conservação da energia e resolver para encontrar a velocidade da massa em termos da posição e da energia total . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia cinética e potencial em sistemas oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total em um sistema conservativo (como essa mola) é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ). A energia cinética é dada por , onde é a velocidade da massa. A energia potencial, como mencionado, é .
Então, a equação de conservação da energia fica:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade em termos de e . Para isso, vamos isolar na equação. Começamos subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Em seguida, para isolar , multiplicamos ambos os lados por 2:
Simplificando:

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A velocidade da massa em termos da posição e da energia total é:

Exercícios de Livros Relacionados