Uma partícula de massa
é colocada em um poço esférico finito:
Calcule o estado fundamental resolvendo a equação radial com
. Demonstre que não há nenhum estado ligado se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa
dentro de um poço esférico finito. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger radial com momento angular
. Precisamos resolver essa equação para encontrar o estado fundamental (a menor energia possível) e também mostrar que não há estado ligado se
. Vamos precisar conhecer a forma da equação de Schrödinger para potenciais esféricos e como aplicar condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger radial para
. Para uma partícula em um potencial
, a equação é:
Aqui,
é a função radial relacionada à função de onda total, e
é a energia da partícula.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas regiões:
- Dentro do poço (
): - Fora do poço (
):
Vamos resolver a equação em cada região separadamente.
Passo 4
Dentro do poço (
):
Substituindo
na equação de Schrödinger:
Podemos rearranjar:
Como estamos buscando estados ligados,
. Definimos
, então a solução geral dentro do poço é:
Passo 5
Fora do poço (
):
Aqui,
, então a equação fica:
Novamente, com
, definimos
, resultando na solução decrescente:
Garantimos que a função de onda não diverge em
.
Passo 6
Condições de contorno:
A função de onda e sua derivada devem ser contínuas em
. Ou seja:
Vamos usar essas condições para relacionar os coeficientes
e encontrar uma equação que nos permita determinar os valores possíveis de
.
Passo 7
Assumindo simetria central e estado fundamental, podemos simplificar definindo
(já que
seria uma solução com mais energia). Então, a solução dentro do poço fica:
Aplicando a continuidade em
:
E para as derivadas:
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Ou seja:
Essa é a condição de quantização que relaciona
e
, permitindo encontrar os valores possíveis de
.
Passo 8
Agora, lembrando que:
Somando essas duas equações:
Podemos usar essa relação para expressar
em termos de
ou vice-versa, e então resolver a condição de quantização
.
Passo 9
Para demonstrar que não há estado ligado se
, vamos analisar a condição de quantização.
A função
diverge negativamente quando
se aproxima de
, ou seja, para
, o lado esquerdo
tende a
, enquanto o lado direito
é limitado. Se
é muito pequeno, a energia
não será suficiente para satisfazer a condição de quantização, ou seja, não haverá interseção das funções, implicando na ausência de estados ligados.
Matematicamente, isso acontece quando a profundidade e a largura do poço não são suficientes para sustentar uma solução que satisfaça
.
Resposta
Portanto, resolvendo a equação radial com
, encontramos que o estado fundamental existe somente se
. Se
, não há nenhum estado ligado.