Uma partícula de massa é colocada em um poço esférico finito:
Calcule o estado fundamental resolvendo a equação radial com . Demonstre que não há nenhum estado ligado se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa dentro de um poço esférico finito. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger radial com momento angular . Precisamos resolver essa equação para encontrar o estado fundamental (a menor energia possível) e também mostrar que não há estado ligado se . Vamos precisar conhecer a forma da equação de Schrödinger para potenciais esféricos e como aplicar condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger radial para . Para uma partícula em um potencial , a equação é:
Aqui, é a função radial relacionada à função de onda total, e é a energia da partícula.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas regiões:
  1. Dentro do poço ( ):
  2. Fora do poço ( ):
Vamos resolver a equação em cada região separadamente.

Passo 4

Dentro do poço ( ):
Substituindo na equação de Schrödinger:
Podemos rearranjar:
Como estamos buscando estados ligados, . Definimos , então a solução geral dentro do poço é:

Passo 5

Fora do poço ( ):
Aqui, , então a equação fica:
Novamente, com , definimos , resultando na solução decrescente:
Garantimos que a função de onda não diverge em .

Passo 6

Condições de contorno:
A função de onda e sua derivada devem ser contínuas em . Ou seja:
Vamos usar essas condições para relacionar os coeficientes e encontrar uma equação que nos permita determinar os valores possíveis de .

Passo 7

Assumindo simetria central e estado fundamental, podemos simplificar definindo (já que seria uma solução com mais energia). Então, a solução dentro do poço fica:
Aplicando a continuidade em :
E para as derivadas:
Dividindo as duas equações para eliminar :
Ou seja:
Essa é a condição de quantização que relaciona e , permitindo encontrar os valores possíveis de .

Passo 8

Agora, lembrando que:
Somando essas duas equações:
Podemos usar essa relação para expressar em termos de ou vice-versa, e então resolver a condição de quantização .

Passo 9

Para demonstrar que não há estado ligado se , vamos analisar a condição de quantização.
A função diverge negativamente quando se aproxima de , ou seja, para , o lado esquerdo tende a , enquanto o lado direito é limitado. Se é muito pequeno, a energia não será suficiente para satisfazer a condição de quantização, ou seja, não haverá interseção das funções, implicando na ausência de estados ligados.
Matematicamente, isso acontece quando a profundidade e a largura do poço não são suficientes para sustentar uma solução que satisfaça .

Resposta

Portanto, resolvendo a equação radial com , encontramos que o estado fundamental existe somente se . Se , não há nenhum estado ligado.

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