O vagão de uma montanha-russa, com massa , se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano ( horizontal e verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por . (a) Usando como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana (como uma função de e ). (b) Determine as equações de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Seção 4.7, que a segunda lei de Newton assume a forma , onde é a distância medida ao longo do trilho. Reescreva essa equação como uma equação para e mostre que você obtém o mesmo resultado a partir das equações de Hamilton.]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vagão de montanha-russa com massa que se move em trilhos definidos pela altura , onde é a posição horizontal e é a altura vertical. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, que são formas avançadas de analisar movimentos usando energia e momento. Para resolver a parte (a), vamos precisar saber como formular a Lagrangiana ( ), calcular o momento generalizado ( ), e depois obter a Hamiltoniana ( ).

Passo 2

Vamos começar encontrando a Lagrangiana ( ). A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) do sistema:

Passo 3

Primeiro, calculamos a energia cinética ( ). O vagão está se movendo no plano , então temos que considerar as velocidades nas duas direções. A velocidade na direção é e na direção é . Como , podemos escrever como:
Então, a energia cinética é:

Passo 4

Agora, calculamos a energia potencial ( ). A energia potencial devido à gravidade é dada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Com as expressões de e em mãos, podemos escrever a Lagrangiana:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o momento generalizado ( ). O momento generalizado conjugado à coordenada é dado por:
Calculando a derivada:

Passo 7

Com o momento , podemos obter a Hamiltoniana ( ) usando a relação:
Primeiro, expressamos em termos de :

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Então, a Hamiltoniana final é:

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar as equações de Hamilton e mostrar que elas coincidem com o que obteríamos usando o formalismo Newtoniano.
As equações de Hamilton são dadas por:

Passo 11

Calculando :
Isso confirma a relação que já havíamos utilizado para expressar em termos de .

Passo 12

Agora, calculamos :
Calculando as derivadas:

Passo 13

Agora, vamos relacionar isso com a segunda lei de Newton na forma , onde é a distância ao longo do trilho. Como está relacionado com através da geometria do trilho , temos:
A força tangente é a componente da força gravitacional ao longo do trilho:

Passo 14

Igualando as duas expressões:
Resolvendo para :

Passo 15

Agora, verificamos se isso coincide com o que obtivemos das equações de Hamilton. Da equação para , podemos expressar usando a relação :
Após simplificações, chegamos à mesma expressão para , confirmando que as equações de Hamilton coincidem com as do formalismo Newtoniano.

Resposta

Seguindo os passos acima, concluímos que a Hamiltoniana é:
E as equações de Hamilton derivam exatamente as mesmas leis do movimento obtidas pelo formalismo Newtoniano, confirmando a consistência entre os dois métodos.

Exercícios de Livros Relacionados