O vagão de uma montanha-russa, com massa
, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano
(
horizontal e
verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por
. (a) Usando
como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana
(como uma função de
e
). (b) Determine as equações de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Seção 4.7, que a segunda lei de Newton assume a forma
, onde
é a distância medida ao longo do trilho. Reescreva essa equação como uma equação para
e mostre que você obtém o mesmo resultado a partir das equações de Hamilton.]
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vagão de montanha-russa com massa
que se move em trilhos definidos pela altura
, onde
é a posição horizontal e
é a altura vertical. O conteúdo principal aqui é a Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana, que são formas avançadas de analisar movimentos usando energia e momento. Para resolver a parte (a), vamos precisar saber como formular a Lagrangiana (
), calcular o momento generalizado (
), e depois obter a Hamiltoniana (
).
Passo 2
Vamos começar encontrando a Lagrangiana (
). A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema:
Passo 3
Primeiro, calculamos a energia cinética (
). O vagão está se movendo no plano
, então temos que considerar as velocidades nas duas direções. A velocidade na direção
é
e na direção
é
. Como
, podemos escrever
como:
Então, a energia cinética é:
Passo 4
Agora, calculamos a energia potencial (
). A energia potencial devido à gravidade é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Com as expressões de
e
em mãos, podemos escrever a Lagrangiana:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o momento generalizado (
). O momento generalizado conjugado à coordenada
é dado por:
Calculando a derivada:
Passo 7
Com o momento
, podemos obter a Hamiltoniana (
) usando a relação:
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Então, a Hamiltoniana final é:
Passo 10
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar as equações de Hamilton e mostrar que elas coincidem com o que obteríamos usando o formalismo Newtoniano.
As equações de Hamilton são dadas por:
Passo 11
Calculando
:
Isso confirma a relação que já havíamos utilizado para expressar
em termos de
.
Passo 12
Agora, calculamos
:
Calculando as derivadas:
Passo 13
Agora, vamos relacionar isso com a segunda lei de Newton na forma
, onde
é a distância ao longo do trilho. Como
está relacionado com
através da geometria do trilho
, temos:
A força tangente
é a componente da força gravitacional ao longo do trilho:
Passo 14
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para
:
Passo 15
Agora, verificamos se isso coincide com o que obtivemos das equações de Hamilton. Da equação para
, podemos expressar
usando a relação
:
Após simplificações, chegamos à mesma expressão para
, confirmando que as equações de Hamilton coincidem com as do formalismo Newtoniano.
Resposta
Seguindo os passos acima, concluímos que a Hamiltoniana é:
E as equações de Hamilton derivam exatamente as mesmas leis do movimento obtidas pelo formalismo Newtoniano, confirmando a consistência entre os dois métodos.