Determine a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana para uma partícula livre (nenhuma força agindo sobre ela) compelida a mover-se ao longo do eixo . (Use como a coordenada generalizada.) Determine e resolva as equações de Hamilton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana para uma partícula livre que se move ao longo do eixo . Depois, temos que encontrar e resolver as equações de Hamilton. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica lagrangiana e da mecânica hamiltoniana. Precisamos lembrar das fórmulas da Lagrangiana , da Hamiltoniana , e de como calcular o momento generalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Como a partícula é livre, não há forças agindo sobre ela, ou seja, a energia potencial .

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética . Para uma partícula de massa movendo-se ao longo do eixo , a energia cinética é:
onde é a velocidade da partícula.

Passo 4

Com isso, a Lagrangiana fica:

Passo 5

O próximo passo é encontrar o momento generalizado . Ele é definido como a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade :
Então, o momento generalizado é igual à quantidade de movimento clássica.

Passo 6

Agora, vamos determinar a Hamiltoniana . A Hamiltoniana é definida como:
Substituindo e :
Mas podemos expressar em termos de substituindo :

Passo 7

Com a Hamiltoniana em mãos, podemos escrever as equações de Hamilton. Elas são:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 8

Calculando :
Então:

Passo 9

Calculando :
Portanto:

Passo 10

Agora, vamos resolver as equações encontradas:
A segunda equação implica que é constante no tempo. Então, integrando:
Substituindo na primeira equação:
Integrando em relação ao tempo:
onde é a posição inicial.

Resposta

A Lagrangiana é , o momento generalizado é , e a Hamiltoniana é . As equações de Hamilton levam às soluções e , onde e são constantes de integração.

Exercícios de Livros Relacionados