Determine a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana para uma partícula livre (nenhuma força agindo sobre ela) compelida a mover-se ao longo do eixo
. (Use
como a coordenada generalizada.) Determine e resolva as equações de Hamilton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a Lagrangiana, o momento generalizado e a Hamiltoniana para uma partícula livre que se move ao longo do eixo
. Depois, temos que encontrar e resolver as equações de Hamilton. Para isso, vamos usar conceitos da mecânica lagrangiana e da mecânica hamiltoniana. Precisamos lembrar das fórmulas da Lagrangiana
, da Hamiltoniana
, e de como calcular o momento generalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Como a partícula é livre, não há forças agindo sobre ela, ou seja, a energia potencial
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
. Para uma partícula de massa
movendo-se ao longo do eixo
, a energia cinética é:
onde
é a velocidade da partícula.
Passo 4
Com isso, a Lagrangiana fica:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o momento generalizado
. Ele é definido como a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade
:
Então, o momento generalizado
é igual à quantidade de movimento clássica.
Passo 6
Agora, vamos determinar a Hamiltoniana
. A Hamiltoniana é definida como:
Substituindo
e
:
Mas podemos expressar
em termos de
substituindo
:
Passo 7
Com a Hamiltoniana em mãos, podemos escrever as equações de Hamilton. Elas são:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 8
Calculando
:
Então:
Passo 9
Calculando
:
Portanto:
Passo 10
Agora, vamos resolver as equações encontradas:
A segunda equação
implica que
é constante no tempo. Então, integrando:
Substituindo na primeira equação:
Integrando em relação ao tempo:
onde
é a posição inicial.
Resposta
A Lagrangiana é
, o momento generalizado é
, e a Hamiltoniana é
. As equações de Hamilton levam às soluções
e
, onde
e
são constantes de integração.